Sesgo y error cuadrático medio de estimadores puntuales. 12

a) La esperanza de una distribución uniforme en un intervalo (a, b) es (a+b)/2

Luego

$$E(\overline{Y}) = E(Y) = \frac{\theta+\theta+1}{2}=\theta + \frac 12$$

Y como la esperanza de Y barra es distinta de theta, Y barra es es estimador sesgado de theta

El sesgo es la diferencia entre la esperanza del estimador y el valor que se est aestimando.

$$B(\overline{Y}) = E(\overline{Y})- \theta = \theta+\frac 12 -\theta = \frac 12$$

b) La función esta clara, será

$$\begin{align}&f(\overline{Y}) = \overline{Y}-\frac 12\\ &\\ &\text{con esto será}\\ &\\ &E[f(\overline{Y})] = E(\overline{Y})-1/2 = \theta+\frac 12- \frac 12=\theta\\ &\\ &\text{y f será un estimador insesgado de }\theta\end{align}$$

c)

$$\begin{align}&MSE(\overline{Y}) = E[(\overline{Y}-\theta)^2]\\ &\\ &\text {que por un teorema es:}\\ &\\ &MSE(\overline{Y}) = V(\overline{Y})+[B(\overline{Y})]^2\\ &\\ &V(\overline{Y})=V[(Y_1+...+Y_n)/n]=\\ &\\ &\frac{V(Y_1)}{n^2}+···+\frac{V(Y_n)}{n^2}=\frac{nV(Y)}{n^2}= \frac{V(Y)}{n}\\ &\\ &V(Y) = E(Y^2) -[E(Y)]2\\ &\\ &E(Y^2) = \int_{\theta}^{\theta+1}y^2 \frac 11dy=\frac 13\left[y^3\right]_{\theta}^{\theta+1}=\\ &\\ &\frac 13(\theta^3+3\theta^2+3\theta+1-\theta^3)=\theta^2+\theta+\frac 13\\ &\\ &V(Y)=\theta^2+\theta+\frac 13-\left(\theta+\frac 12\right)^2=\\ &\\ &\theta^2+\theta+\frac 13- \theta^2-\theta-\frac 14=\frac{1}{12}\\ &\\ &V(\overline{Y}) = \frac{V(Y)}{n}= \frac{1}{12n}\\ &\\ &MSE(\overline{Y}) =V(\overline{Y})+[B(\overline{Y})]^2=\frac{1}{12n}+\frac 14= \frac{3n+1}{12n}\end{align}$$

¡Uff! Espero no haberme equivocado, repásalo que con el editor es imposible porque todo lo más que se ven son dos líneas de golpe, es un martirio. Y hasta que no lo mandas no puedes verlo todo bien.