Recta en el plano (matemática)

a) El vector de dirección en notación de R3 es u=(2, -3, 4)

Las ecuaciones paramétricas son

x = 1 + 2t

y = -2 - 3t

z = 0 + 4t

para todo t € R

Las ecuaciones simétricas (o ecuación continua) son:

(x-1) / 2 = (y+2) / (-3) = z / 4

Y las ecuaciones implícitas se extraen de las simétricas, por ejemplo igualando primera con tercera y segunda con tercera

(x-1)/2 = z/4 ==> 4x-4=2z ==> 4x - 2z - 4 = 0

(y+2)/(-3) = z/4 ==> 4y+8=-3z ==> 4y +3z + 8 = 0

b) Ya conocemos uno que es (1,-2,0) pero no cuesta nada hallar otros dos

Demos valores a la t en las ecuaciones paramétricas, por ejemplo 1 y 2

x = 1 + 2t ==> x = 1+2 = 3
y = -2 - 3t ==> y = -2-3 =-5
z = 0 + 4t ==> z = 0+4 = 4

x = 1 + 2t ==> x = 1 + 4 = 5

y = -2 - 3j ==> y = -2 -6 = -8
z = 0 + 4t ==> y = 0 + 8 = 8

Luego tenemos los puntos (3, -5, 4) y (5, -9, 8)

c) Podemos comprobarlo en las implícitas, viendo si (0, 7/2, -2) las cumple

4x - 2z - 4 = 0 ==> 0 -2(-2) - 4 = 4-4 = 0 la cumple

4y +3z + 8 = 0 ==> 4(7/2) + 3(-2) + 8 = 14 - 6 + 8 = 16 no la cumple

Luego el punto no pertenece a la recta.