Me piden calcular la integral aplicando el teorema fundamental del calculo

Víctor 30!

El teorema fundamental del cálculo dice resumiendo que si

F'(x) = f(x)

entonces

$$\begin{align}&\int_0^{x}f(t)dt=F(x)\\ &\\ &\text{como te han intercambiado los límites habra que poner un signo -}\\ &\\ &\int_x^0f(t)dt = - F(x)=-\int f(x)dx\\ &\\ &\text{Luego debemos calcular}\\ &\\ &-\int \sqrt{x^2+1}dx=\end{align}$$

Esta integral se puede hacer con un cambio trigonométrico

x=tg(z)

o con uno hiperbólico

x=Sh(z)

y es bastante más fácil con el segundo.

Recuerdo algunas propiedades de estas funciones

Shx = seno hipérbolico de x

Chx = coseno hiperbólico de x

Ch^2(x) - Sh^2(x) = 1

Ch'(x) = Shx

Sh'(x) = Chx

Ch^2(x) = [1+Ch(2x)] / 2

Sh(2x) = 2·Shx·Chx

Sh^(-1)(x) = arg shx = ln[x+sqrt(x^2+1)]

$$\begin{align}&-\int \sqrt{x^2+1}\;dx=\\ &\\ &x=Sh\,z\\ &dx =Ch\,z \\ &\\ &=-\int \sqrt{1+Sh^2x}\;Ch\,z\;dz=\\ &\\ &- \int \sqrt{Ch^2z}\;Ch\,z\;dz=\\ &\\ &-\int Ch^2z\;dz=\\ &\\ &-\int \left(\frac 12+\frac{Ch \,2z}{2}  \right)dz=\\ &\\ &-\frac z2-\frac{Sh\,2z}{4}=\\ &\\ &-\frac{arg\, sh\, x}{2}-\frac{Shz·Chz}{2}=\\ &\\ &-\frac{ln(x+\sqrt{x^2+1})}{2}-\frac{x \sqrt{x^2+1}}{2}\end{align}$$

Puede haber parecido algo complicado pero con el cambio x=tg(z) aun habría sido más.

Y eso es todo.