Hallar los valores de por en la ecuacion

Las ecuaciones mezcla de polinómicas con exponenciales no tiene método algebraico de resolución.

Si se encuentra una respuesta entera perfecto. Si la respuesta no fuera entera y quisieras probar con racionales tendrías que 2^x sería irracional mientras -2x-2 es racional y su suma no podría ser cero. Luego aunque parezca una ecuación fácil puede ser muy difícil.

En esta ecuación si pruebas con x=0,1,2,3

Ves que el 3 es respuesta

2^3 - 2·3 -2 = 8-6-2 = 0

Y ya vale de probar con enteros porque 2^x se hace muy grande si x es positivo. Y con los enteros negativos no hay que probar ninguno porque 2^x se hace 1/2, 1/4, etc. que no podrá nunca sumar cero con -2x+2 que será entero

Luego respuestas racionales solo tiene x=3.

Pero si calculas algunos valores de la función

f(x) = 2^x -2x -2

tendrás

lim x--->-oo f(x) = 0 + oo -2 = oo

lim x--->oo f(x) = oo porque 2^x es un infinito de orden superior a - 2x

f(0) = 1 - 0 -2 = -1

Y como la función es continua tiene al menos un cero en (-oo, 0) y también al menos otro en (0, oo) por ejemplo el 3 que ya hemos calculado.

Podríamos tirar de derivadas para ver que unicamente hay un mínimo relativo y por lo tanto solo hay dos respuestas, la que tenemos y otra

f '(x) = 2^x·ln 2 -2

f ''(x) = 2^x·(ln 2)^2

Como la derivada segunda es siempre positiva entonces f '(x) es siempre creciente y solo tiene una raíz por lo que f(x) solo tiene un mínimo y la función tiene forma de U.

O como la derivada segunda es positiva la función es cóncava hacia arriba. En cualquier caso solo hay dos respuestas, la calculada y otra negativa.

Y ahora dime en que materia estás dando esta ecuación o si es un problema que se te ha ocurrido. Para calcular la otra respuesta habría que usar un método como el de Newton-Raphson. ¿No sé si estarás dando eso?

En todo caso sería de agradecer que si quieres esa resolución mandaras otra pregunta para hacerlo, puntuar esta y mandar la otra.