Estadística matemática con aplicaciones 4.130

4.130)

En el teorema 4.11, pags 195 y 196 demuestra como se calcula la media. Usaré el resultado y el método. Así que como aquí se va a entender muy mal el desarrollo puedes mirar el libro en esa página 196.

Ya hace mucho tiempo que venimos usando esta fórmula para la varianza:

V(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2

Como E(Y) ya la conocemos por el teorema vamos a centrarnos en E(Y^2)

Usaré el engendro del editor de ecuaciones que hay aquí, no tiene forma o la desconozco de poner letras mayúsculas, es increíble, luego irá todo en minúsculas:

$$\begin{align}&e(y^2) = \int_0^1y^2[\frac{y^{\alpha-1}(1-y)^{\beta-1}}{b(\alpha, \beta)}]dy=\\ &\\ &\\ &\frac{1}{b(\alpha,\beta)}\int_0^1y^{\alpha+1}(1-y)^{\beta-1}dy =\\ &\\ &\frac{b(\alpha+2,\beta)}{b(\alpha,\beta)}\\ &\\ &\end{align}$$

Lo siento, dejaré ya el editor porque no se avanza ni la décima parte. Llamare G a la función Gamma, a a alfa y B a Beta

= [G(a+2)G(B) / G(a+2+B)] / [G(a)G(B)/G(a+B)] =

G(a+2)G(B)G(a+B) / [G(a+2+B)G(a)G(B)] =

G(a+2)G(a+B) / [G(a+2+B)G(a)] =

(a+1)aG(a)G(a+B) / [(a+B+1)(a+B)G(a+B)G(a)} =

a(a+1) / [(a+B)(a+B+1)]

V(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2 =

a(a+1) / [(a+B)(a+B+1)] - [a/(a+B)]^2 =

[a(a+1)(a+B) - a^2·(a+B+1)] / [(a+B)^2·(a+B+1)] =

[a^3+a^2·B + a^2 + aB - a^3 - a^2·B - a^2] / [(a+B)^2·(a+B+1)] =

aB / [(a+B)^2·(a+B+1)]

Que es justamente lo que dice el ejercicio.