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3.50)
La serie durará exactamente 5 partidos si el que gana el quinto partido tenía ganados 3 entre los cuatro primeros.
Hacemos entonces una binomial de 4 elementos para los cuatro partidos primeros.
Si es A el que gana la probabilidad será:
P(A=3) = (4 sobre 3)(p^3)(1-p) = 4(p^3)(1-p)
Mientras que si es B el que gana
P(B=3) = P(A=1) =(4 sobre 1)p(1-p)^3 = 4p(1-p)^3
No se puede dar al la vez que ambos hayan ganado 3 partidos, luego
P(A o B = 3) = 4(p^3)(1-p) + 4p(1-p)^3 =
4p(1-p)(p^2+(1-p)^2) =
Voy a ver si se puede simplificar o no:
4p(1-p)(p^2 + 1 + p^2 - 2p) = 4p(1-p)(2p^2 - 2p + 1) =
4p(2p^2-2p+1-2p^3+2p^2-p) = 4p(-2p^3+4p^2-3p+1)
Bueno, no se pudo simplificar mucho o nada según se mire.
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3.51
a) La probabilidad de obtener un seis sera 1 menos probabilidad de sacar cero seises
P(nº seises>=1) = 1 - P(nº seises=0)
La probabilidad de no sacar ningún seis en 4 tiros es
(5/6)^4 = 625/1296
P(nº seises >= 1) 1 - 625/1296 = (1296-625)/1296 = 671/1296 = 0,5177469
b) Tomando dos dados se pueden dar 36 resultados, de lo es cuales unicamente uno es un doble seis.
Luego la probabilidad de sacar doble seis en una tirada es 1/36.
Si se saca en la primera ya está, si no probamos en la segunda, sino en la tercera.
P(doble seis en la primera) = 1/36
P(Doble seis en segunda y primera no) = (35/36)(1/36)
P(Doble seis en la tercera y en primera y segunda no) = (35/36)(35/36)(1/36)
P(Doble seis en la jugada i y no en las anteriores) = (35/36)^(i-1)·(1/36)
Al final la probabilidad de tener un doble seis al menos es la suma de las 24 expresiones de arriba
P(al menos un doble seis) = (1/36)[1+(35/36)+(35/36)^2+...+(35/36)^23] =
El corchete es una progresión aritmética de razón 35/36.
La suma de los n términos de una progresión geométrica es:
Sn = a1(1-r^n)/(1-r) = 1·[1-(35/36)^24]/(1-35/36) =
(1-0,97222222^24)/(1-0,97222222) = (1-0,5085961) / 0,0277778 =
0,4914039 / 0,0277778 = 17,690526
P(al menos un seis doble) = 17,690526/36 = 0,4914035
Y eso es todo.
