Calcula las siguientes integrales

He buscado la respuesta que te di.

$$\begin{align}&\frac 53 \int \frac{dx}{\sqrt{1- \left(\frac{2x}{3}\right)^2}}=\\ &\\ &\frac 53 ·\frac 32 \int \frac{\frac 23dx}{\sqrt{1- \left(\frac{2x}{3}\right)^2}}=\\ &\\ &\frac{15}{6}arcsen\left({\frac{2x}{3}}\right)+C=\\ &\\ &\\ &\frac{5}{2}arcsen\left({\frac{2x}{3}}\right)+C=\\ &\\ &\end{align}$$

Todo se basa en que tenemos que llegar a una expresión del tipo

$$\frac{u´(x)}{\sqrt{1-[u(x)]^2}}$$

Cuando lleguemos a ella podrémos decir que la integral es arcsen u(x)

Todos los pasos dados anteriormente han servido para dejar el denominador de ese forma, la función u que nos ha quedado es

u(x) = 2x/3

Y ahora hay que continuar haciendo que la integral sea de esa forma

Como u'(x) = 2/3

Debemos poner eso en el numerador.

Si lo ponemos sin más alteraríamos lo que tenemos, pero si multiplicamos por 2/3 y por 3/2 no alteramos nada, ya que (2/3)(3/2) = 6/6 = 1

Entonces 3/2 lo sacamos fuera yel 2/3 se deja dentro porque es lo que conviene para que dentro de la integral que exactamente la derivada del arcsen(2x/3).

¿Lo entendiste ahora? Ojalá que sí.