Demostrar que si n es par, entonces
Ayuda con este enunciado, gracias.
SEa n pertenece a N/ {0}, demostrar que si n es para entonces lim 1/ x a la n cuando x tiende a 0 = infinito y que si n es impar entonces lim 1/x a la n cuando x tiende a 0 no existe.
1 Respuesta
En realidad no existe límite en ninguno de los dos casos, ya que por límite se entiende un número finito. Lo que vamos a demostrar entonces es que si n es par la función es mayor que cualquier K cuando x tiende a 0 tanto por la derecha como por la izquierda. Mientras que si n es impar por la izquierda la función es menor que cualquier K y por la derecha es mayor que cualquier K. Eso es lo que en realidad debería haber dicho el enunciado.
La función 1/x tiende a +infinito por la derecha y a -infinito por la izquierda.
Entonces si n es par, al elevar a la n todos los números se hacen positivos y la función tiende a +infinito por los dos lados.
Y si n es impar, al elevar a la n se conserva el signo de la función con lo cual por la izquierda tenederá a -infinito y por la derecha a +infinito.
Esa sería la demostración.
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He sido riguroso con el uso del lenguaje porque en algunos libros se usa que una función tiende a +infinito, -infinito o infinito, siendo este tercer caso que tienda a +infinito o -infinito sin especificar cuál de los dos y pudiendo ser distinto en los dos lados. Según esta definición en los dos casos tendería a infinito.
Y eso es todo.
