Teorema de Cantor
Demuestre que, si f:R---R es una función continua sobre [a,b] y f(x)=0 en todo punto racional, entonces, f(x)=0 en todo punto de [a,b].
1 Respuesta
El conjunto de los números racionales es denso en R, en cualquier entorno de radio delta de un número hay números racionales. Podemos demostrarlo.
Sea x el centro del entorno y delta el radio
Por la propiedad arquimediana existe n € N tal que
n > 1/delta ==> 1/n < delta
Sea p la parte entera de nx
p <= nx < p+1
p/n < x < (p+1) / n
x < (p+1)/n = p/n + 1/n < x +delta
Luego el número racional (p+1)/n pertenece al entorno de x de radio delta
Entonces dado un epsilon>0 en todo entorno de un punto xo habrá números racionales y como f es continua para ellos deberá cumplirse
|f(xo) - f(x)| = |f(xo)-0| = |f(xo)| < epsilon
Y esto para cualquier epsilon, luego
|f(xo)| = 0
f(xo) = 0
Y eso es todo.
