Demostración utilizando axiomas de números reales

Ya contesté esta pregunta, la has mandado dos veces.

Has escrito lo mismo. Imagino que querías decir
|x/y| = |x| / |y|

Si x=0 tendremos
|0/y| = 0
|0| / |y| = 0 / |y| = 0

Y ahora veamos los cuatro casos que quedan.
El valor absoluto de un número es ese mismo número si es positivo y el opuesto si es negativo

1) Si x>0, y>0
|x/y| = x/y
|x| / |y| = x/y

2) Si x>0 , y<0
|x/y| = -(x/y)
|x| / |y| = x/(-y) = -(x/y)

3) Si x<0 y>0
|x/y| = -(x/y)
|x| / |y| = (-x) / y = -(x/y)

4)Si x<0, y<0
|x/y| = x/y
|x| / |y| = (-x)/(-y) = x/y
Luego es igual en todo los casos posibles y podemos afirmar que
|x/y| = |x| / |y| Para todo x € R, y € R-{0}

Y eso es todo.