A ver si lo consigo. La función da un número real (entiendo) a partir de 2 números reales cualesquiera x e y. Bien, habitualmente las funciones se definen sobre un espacio de RxR (números reales) concreto que puede ser todo el conjunto o una parte. Por ejemplo:
f(x) = 1 si x > 0
f(x) = 3 si x < 0
Seria una función que no está definida para x=0. Nos tendrían que decir si tiene valor y cual es para x=0. Podría ser añadir f(0) = 5 o poner un igual en alguna de las dos expresiones anteriores. Supongamos que defino una función así:
f(x)=1 si x > ó = 0
f(x)=3 si x < ó = 0
¿Qué valor tiene en x=0? Pues está mal definida porque vale 1 según la primera expresión y vale 3 si miramos la segunda, con lo cual no es una función en sentido estricto. Y eso es lo que le pasa a tu función. Tiene definición para dos expresiones que no son complementarias o al menos no contienen puntos comunes.
x^2 + y^2 - 1 = 0 Son los puntos de una circunferencia de radio 1 y centro (0,0). Por la primera expresión tu función tiene un valor, el que sea, para todos los puntos del plano fuera de esa circunferencia. Ahora para los puntos que cumplen x^3 + y^3 -1 = 0 tiene el valor 3. Supongamos el punto (2, \sqrt[3]{-7)}). Este punto cumple la segunda condición y por tanto valdría 3, pero también la primera (está fuera de la circunferencia) por lo que la función tendría dos valores en él. Si tu enunciado es así no te han dado una función o está mál definida.
Suponiendo que la función está definida correctamente podemos ver si es continua y en qué puntos lo es o no lo es. Básicamente para que sea continua en un punto el limite cuando la función tiende al punto ha de ser igual al valor de la función en el punto.
Ej: f(x) 1 si x > ó = 0
f(x) 3 si x < 0
En esta función si vamos hacia 0, punto problemático desde x grandes (10,8,6,2,1, 0.7, 0.0001...) vemos que llegamos a 0 sin problemas y el valor de la función es 1 todo el tiempo. Sin embargo si nos acercamos por los valores negativos la función va valiendo 3 todo el rato, pero en el último paso, al saltar a 0 el valor de la función cambia a 1. Por eso decimos que esta función es continua por la derecha pero no lo es por la izquierda.
Que pasa ahora con funciones de dos variables, donde se toman valores en el plano y el valor de la función sería un valor Z de la tercera dimensión. De hecho se representan como curvas en el espacio. Bueno pues resulta que hay infinitos modos de aproximarse al punto conflictivo, tantos como curvas y rectas se nos ocurran que contengan dicho punto. Resulta por tanto complicado comprobar la continuidad en determinada dirección si no nos dicen cual, pero no tanto si la función no tiene límite o éste no es igual al valor de la función en el punto. Para ello se escoge una dirección fácil x=0 por ejemplo y se calcula el límite. Luego se hace lo mismo con otra y=0 y se hace lo propio. Si los límites no son iguales la función no tiene límite en el punto y si no son iguales al valor de la función en el punto no pueden ser continuas en el punto, al menos en esas direcciones.
Veamos que pasa en una dirección genérica dada por una recta donde y=mx. Habría que sustituir en la ecuación, calcular los valores de la función en el punto (1,0) y ver si es igual al límite o si hay valores de m que satisfagan la condición. Te dejo los cálculos para ti.