Solución ejercicio 19 pag 583

Evaluar la integral

$$\int_C(x+y)dx+(2x-z)dy+(y+z)dz$$

donde C es el perímetro que conecta (2,0,0) (0,3,0) y (0,0,6) en ese orden.

Lo primero es obtener la parametrización del perímetro. Sera una parametrización en tres trozos

Primer trozo

De (2,0,0) a (0,3,0) el vector es (0,3,0)-(2,0,0) = (-2,3,0)

y la recta será

(2-2t, 0+3t, 0) entre 0 <= t <= 1

luego la integral en ese trozo será

$$\begin{align}&\int_0^1 \left[(2-2t+3t)(-2)+(4-4t)·3+0\right]dt=\\ &\\ &\int_0^1[-2(2+t)+12-12t]dt=\\ &\\ &\int_0^1(-4-2t+12-12t)dt=\\ &\\ &\int_0^1(-14t+8)dt=\\ &\\ &\left[-7t^2+8t\right]_0^1= -7+8=1\end{align}$$

Recordemos ese 1 que luego habrá que sumarlo

Segundo trozo

De (0,3,0) a (0,0,6) el vector es (0,0,6) - (0,3,0) = (0,-3,6)

La recta será

(0, 3-3t, 0+6t) 0 <=t<=1

y la integral de este trozo será

$$\begin{align}&\int_0^1\left[0+(0-6t)(-3)+(3-3t+6t)6  \right]dt=\\ &\\ &\int_0^1(18t+18+18t)dt=\\ &\\ &\left[  18t^2+18t\right]_0^1=36\end{align}$$

Recordemos también ese 36.

Tercer trozo,

De (0,0,6) a (2,0,0) el vector es (2,0,0)-(0,0,6) = (2,0,-6)

La recta es

(0+2t, 0, 6-6t)

y la integral de este trozo es

$$\begin{align}&\int_0^1\left[2t·2+0+(6-6t)(-6)  \right]dt\\ &\\ &\int_0^1(4t-36+36t)dt =\\ &\\ &\left[20t^2-36t  \right]_0^1=-16\end{align}$$

Luego la integral a lo largo de todo el perímetro es

1+36 -16 = 21

Y eso es todo, repásalo bien porque es fácil que haya podido haber algún fallo.

valeroasm la parametrización es la correcta en la dirección que dicen ahí? yo revise el ejercicio y parece que esta bien, dime tu. o es que hay otra parametrización?