Pregunta de calculo avanzado 3
Hola Valeroasm!
En esta ocasión te pido que halles el lugar geométrico descrito por un punto P perteneciente a una curva f al rodar sobre una curva g (En esta ocasión ya no es sobre una recta).
Presiento que solo se va a poder solo en ciertos tramos, entonces halla indicando la restricción para que se cumpla.
Saludos.
1 respuesta
Me están friendo con preguntas de álgebra que tengo que estudiar para poder contestarlas, aunque veas que son pocas es porque me cuesta bastante dar salida a cada una. Y tus preguntas también son de estudiar. Asi que estoy medio colapsado por no decir del todo. Por eso lo siento, pero aunque pongas urgente no puedo contestarlas, Si las supiese de forma inmediata las contestaría por que es lo que procuro hacer con todas, pero las que necesito consultar tienen que esperar.
En este caso estamos como con la pregunta 1 y 2. Para que salga la curva correctamente tendremos que parametrizar ambas curvas con un parámetro tal que la distancia del arco del punto de apoyo inicial al punto de apoyo actual sea una función lineal de ese parámetro. Sería conveniente por ejemplo llamarlo s y que fuese el espacio recorrido desde el punto de apoyo inicial. Cuando las curvas tuviesen apoyo en s habría que ver donde fue a parar el punto que dibuja la curva trabajando con triángulo formado por el punto de apoyo inicial, el punto que dibuja inicial y el punto inicial que ahora es donde se apoya. Ese triángulo conserva sus lados y ángulos aunque después de rodar también rueda él. Es algo complicado de hacer la fórmula, de momento no puedo hacer más.
También voy a requerir esta solución.
La dificultad de este tipo de ejercicios es que son pocas las curvas cuya longitud del arco es fácil de integrar, incluso en muchos casos no hay función primitiva.
Sea f parametrizada por un parámetro t cualquiera y su representación en paramétricas es
f(t) = (x(t), y(t))
El punto de apoyo inicial era f(t0)=(x0, y0) y ahora hemos rodado hasta que el punto de apoyo actual es el que al principio era f(t) = (x(t), y(t))
La longitud del arco recorrido es:
$$\begin{align}&s=l(t) = \int_{t_0}^{t_a}\sqrt{[x´(t)]^2+[y´(t)]^2}dt\\ &\\ &t = l^{-1}(s)\\ &\\ &f(t) =f_s(s) = (x(l^{-1}(s)), y(l^{-1}(s))\end{align}$$Ya te dije que ear lioso, veamos un ejemplo.
Hemos parametrizado una circunferencia centrada de radio 1 mediante su coordenada x
$$\begin{align}&f(t)=(t,\sqrt{1-t^2})\\ &\\ &s= \int_0^t \sqrt{1+\frac{t^2}{1+z^2}}dz=\\ &\\ &\\ &\int_0^t \frac{dz}{1-z^2}=[arcsen\,z]_0^t = arcsen \,t\\ &\\ &\\ &t= sen\,s\\ &\\ &\text{Y la circunferencia parametrizada respecto de la} \\ &\text{longitud de su arco es}\\ &\\ &f_s(s) = (sen\,s, \sqrt{1-sen^2s}) = (sen\,s, \cos s)\\ &\end{align}$$Ahora tengo que dejarlo. Lo que hemos hecho con la curva f hay que hacerlo también con la g, parametrizarla respecto de la longitud de su arco. Asi, cuando digamos, después de rodar un metro, cuál es el punto de apoyo en gs, bastara tomar s=1, sustituir en gs y tendremos el punto de apoyo.
Ahora tengo que dejarlo.
No es fácil encontrar tiempo para formalizar la solución del problema. Te dejo la idea a ver si puedes seguir tú.
Tomaremos la curva fs que como te dije antes es la curva f parametrizada con la longitud de su arco. Cuando haya rodado una distancia d el punto de apoyo será fs(d) y se habrá desplazado al punto gs(d). Asimismo la recta tangente a fs en d se habrá transformado ahora la recta tangente a gs en d.
Con esos datos se debería poder calcular la ecuación del movimiento en función de s, y esa ecuación aplicarla al punto que va dibujando la curva para saber donde está en es momento.
El movimiento será un giro más una traslación es decir:
$$\begin{pmatrix}
x_d\\
y_d
\end {pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos(\alpha_d)&-sen(\alpha_d)\\
sen(\alpha_d)&\cos(\alpha_d)
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_0\\
y_0
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
a_d\\
b_d
\end{pmatrix}$$Hay cuatro incógnitas, por cada punto que podamos decir de dónde vino y dónde está
Tendremos dos ecuaciones, luego con saber la imagen de dos puntos es suficiente. Uno será el punto de apoyo y otro un punto de la recta tangente, por ejemplo el extremo del vector derivada. Habría que tener cuidado al calcular la imagen de ese punto pues hay que fijarse si estará a la derecha o izquierda del punto de apoyo, eso es lo único algo complicado. Y la dicho, una vez halladas esas incógnitas tendremos la ecuación del movimiento y la aplicamos al punto que dibuja.
Mucho más que he hecho no voy a poder hacer.
