Pregunta de calculo avanzado 1

Al rodar una figura se conservan algunos valores como la distancia entre puntos de la figura y la distancia entre puntos y rectas tangentes.

Dado un punto de la curva (o incluso un punto no de ella pero que ruede solidariamente con la curva) se conservará la distancia a todos los puntos de la curva y a todas las tangentes en esos puntos.

De esta forma, cuando la curva se haya movido y este apoyada sobre un punto:

La coordenada x de ese punto de apoyo será la distancia del arco de curva entre el punto donde se apoyaba inicialmente y el punto donde se apoya ahora.

Con lo que la coordenada y del punto fijo será la distancia que había entre ese punto y la tangente por el punto de apoyo. Y la coordenada x del punto fijo será aquella que en combinación con la coordenada y recién calculada haga que la distancia al punto de apoyo nuevo sea la que había originalmente entre esos puntos.

Los cálculos no van a ser nada fáciles, son muy pocas las curvas de las que se puede obtener la longitud del arco. El que su calculo sea

$$longitud\; arco AB = \int_a^b \sqrt{1+ [f´(x)]^2}dx$$

hace que la mayoría inintegrables y otras monstruosas.

Para la parábola más simple, que es y=x^2 la distancia del arco entre el punto (0,0 ) y el (x, x^2) es

$$\frac{ln|2x+\sqrt{4x^2+1}|}{4}+\frac {x \sqrt{4x^2+1}}{2}$$

Sea (a,b) el punto fijo. Sea (xo,0) el punto de apoyo inicial sobre el eje X

Tomaremos como parámetro t la coordenada x de la curva en su posición inicial

Cuando la curva se apoye sobre el punto (x, f(x)) la coordenada x de este punto de apoyo será

$$(apoyo(t),0)=\left(x_0+\int_{x_0}^t \sqrt{1+[f´(y)]^2}dy\;\;,\;\; 0 \right)$$

La coordenada y(t) es la distancia que había del punto (a,b) a la recta tangente por t.

dicha recta era

y = f(t) + f '(t)(x-t)

y - f '(t)x - f(t) + t·f '(t) = 0

y la distancia

$$y(t) = \frac{|b-af´(t)-f(t)+tf´(t)|}{\sqrt{1+[f´(t)]^2}}$$

La distancia del punto fijo (a, b) al punto de apoyo se mantiene

$$\begin{align}&[x(t)-apoyo(t)]^2+[y(t)]^2= (a-t)^2+[b-f(t)]^2\\ &\\ &\\ &[x(t)-apoyo(t)]^2+\frac{[b-af´(t)-f(t)+tf´(t)]^2}{1+[f´(t)]^2}= (a-t)^2+[b-f(t)]^2\\ &\\ &\\ &x(t) =\sqrt{(a-t)^2+[b-f(t)]^2-\frac{[b-af´(t)-f(t)+tf´(t)]^2}{1+[f´(t)]^2}}+x_0+\int_{x_0}^t \sqrt{1+[f´(y)]^2}dy\end{align}$$

Y de ahí se despeja x(t)

Entre x(t) e y(t) ya tenemos el lugar geométrico descrito por el punto fijo al rodar la curva por el eje X

Y como ves es muy complicado de calcular. Vamos a intentarlo con la parábola

y = f(x) = x^2

y el punto fijo (0,0)

$$\begin{align}&y(t) = \frac{|b-af´(t)-f(t)+tf´(t)|}{\sqrt{1+[f´(t)]^2}}=\\ &\\ &\frac{|0-0f´(t)-t^2+t·2t|}{\sqrt{1+4t^2}}=\frac{t^2}{\sqrt{1+4t^2}}\end{align}$$

$$apoyo(t)=\frac{ln|2t+\sqrt{4t^2+1}|}{4}+\frac {t \sqrt{4t^2+1}}{2}$$

$$\begin{align}&x(t) =\sqrt{t^2+t^4-\frac{t^4}{1+4t^2}}+\frac{ln|2t+\sqrt{4t^2+1}|}{4}+\frac {t \sqrt{4t^2+1}}{2}\\ &\end{align}$$

Bueno, yo te di el método, no me responsabilizo de que el resultado esté bien.