Unos problemas de calculo
y el sexto
Una solución llega a un depósito cilíndrico de 30 centímetros de diámetro después de haber pasado por un ?ltro cónico de 60 centímetros de profundidad y 40 de diámetro. Hallar la velocidad a la que se eleva la super?cie libre de la solución en el cilindro, sabiendo que cuando su profundidad en el ?ltro es de 30 centímetros, su nivel desciende a razón
de 2,5 centímetros por minuto. Solución. 10/9 cm/min.
nota: el ejercicio que tiene las 2 soluciones, me equivoque escribiendo, son
Solución. 100/81p m/min, 1O/27p m/min
1 Respuesta
yo supongo que el cono va hacia abajo y que la profundidad es el alto que tiene el cono, pienso que cuando dicen que la profundidad de algo se refieren al nivel en que esta ese algo.
Supondré que el cono esta en forma de V con la base arriba, en este caso hay suerte porque la altura está a la mitad y no hay confusión
Calcularemos el volumen en cada instante, para luego calcular la altura en cada momento
El volumen inicial es Pi·20^2·60 /3 = 8000Pi cm^3
Cada t minutos que pasan salen vt cm^3 donde v es la velocidad (cm^3/min) del líquido que sale del filtro.
Luego el volumen será
V(t) = 8000 - vt
Llamaremos p a la profundidad, que será la distancia del nivel de líquido a la parte de arriba del cono que es la base.
A p=0 le corresponde r=20
A p=60 le corresponde r=0
A un p genérico le corresponde r = 20-(20p/60) = 20-(p/3) = (60-p)/3
El volumen del cono cuando la profundidad es p es
V = (Pi/3)(60-p)r^2 = (Pi/3)(60-p)[(60-p)/3]^2
V=(Pi/27)(60-p)^3
Igualamos con el volumen hallado del otro modo
8000-vt = (Pi/27)(60-p)^3
derivamos con respecto a t
-v = -(Pi/27)·3(60-p)^2 · p'
v = (Pi/9)(60-p)^2 · p'
Ahora sustituimos los valores para p = 30
v = (Pi/9)(60-30)^2 · 2.5
v = 250Pi cm^3/min
Y ahora con esa velocidad vamos a ver como se llena el cilindro.
Tiene una base de
Área base = Pi·15^2 = 225Pi cm^2
Al recibir 250Pi cm^3/min subirá la altura
250Pi / 225Pi = 10/9 cm/min
Pues mira, este ha salido bien.
porque al derivar con respecto a t
(pi/27) queda negativa
Esto es lo que derivar en el lado derecho
(Pi/27)(60-p)^3
Por la regla de la cadena es la derivada respecto a p multiplicada por la derivada de p respecto a t (que es p')
Y al derivar respecto a p lo primero la constante
(Pi/27)
Luego se multiplica por la derivada de la función potencial
(Pi/27)3(60-p)^2
Y luego por la derivada de 60-p que es -1
-3(Pi/27)(60-p)^2
Y para terminar por la derivada de p respecto de t
-3(Pi/27)(60-p)^2·p'=
-(Pi/9)(60-p)^2·p'
Y eso es todo.
