Ayuda con este ejercicio

Como en todos estos problemas, la ecuación canónica nos dará información muy preciosa.

La ecuación canónica de la hipérbola cuando el eje longitudinal es paralelo al eje X es

$$\frac{(x-xo)^2}{a^2}-\frac{(y-yo)^2}{b^2}=1$$

Vamos a completar cuadrados hasta obtenerla

9x^2 - 4y^2 - 18x - 24y - 27 = 0

9(x^2 - 2x) - 4(y^2+6y) -27=0

9[(x-1)^2] - 9 - 4[(y+3)^2 + 36 - 27 = 0

9[(x-1)^2] - 4[(y+3)^2] = 0

Revisa el enunciado para ver si está bien, eso que ha salido no es la ecuación de una hipérbola es la ecuación de dos rectas que se cruzan en (1,-3)

En concreto eso es:

[3(x-1)+2(y+3)] · [3(x-1)-2(y+3)] = 0

que son dos rectas

3x+2y+3=0

3x-2y-9 = 0

Y dos rectas que se cruzan son una cónica degenerada y no tienen ni centro, ni vértices, ni focos. Como mucho se puede considerar que esas dos rectas son la función límite de la familia de hipérbolas

$$\lim_{\alpha\to 27} (9x^2-4y^2-18x-24y-\alpha=0)$$

cuyo centro es (1,-3) y cuyos vértices y focos tienden a (1,-3), Bajo esta teoría se podría decir que el centro, los dos vértices y los dos focos coinciden en (1,-3)

Pero yo no sé si serviría esa teoría o simplemente es que se han equivocado en la ecuación y por ejemplo han escrito -27 en lugar de +27,

Y eso es todo.