Aplicado a la economía

Supongo que quieres decir esta función

CM(q) = 0,01q - 500/q

1)

El coste total es la integral del coste marginal

Es una integral directa

CT(q) = (0,01/2)q^2 - 500ln(q) + k = 0.005q^2- 500ln(q) + k

Vamos a calcular la k de acuerdo con el dato que nos dan

CT(300) = 0,005(300)^2 - 500ln(300) + k = 2000

k = 2000 - 450 + 500 · 5,703782475 = 2000 - 450 + 2851.891237 = 4401,89

La hemos dejado con dos decimales solo

Luego la función de costos totales es

CT(q) = 0,005q^2 - 500ln(q) + 4401,89

2)  El coste medio es el coste total dividido por el número de unidades

CMe(q) = CT(q) / q 

CMe(q) = 0,005 - 500ln(q)/q + 4401,89/q

3) 

Basta con evaluar la función de coste total para q = 100

CT(100) = 0,005(100)^2 - 500ln(100)+4401,89 =

0,005(10000) - 500(4,605170186) + 4401,89 = 

50 - 2302,585093 + 4401,89 = $2149,30

4)

Calculamos la derivada del costo total y la igualamos a cero

Pero ni siquiera debemos hacer eso, puesto que al principio nos dieron el costo marginal que es la derivada del costo total.

Luego igualamos a cero el costo marginal

0,01q - 500/q = 0

Multiplicamos por q

0,01q^2 - 500 = 0

0,01q^2 = 500

q^2 = 500/0,01 = 50000

q = sqrt(50000) = 223,6067

Veamos que efectivamente es un mínimo, so sea que sea un máximo

Derivamos el costo marginal

CM'(q) = 0,01 + 500/q^2 

Es positiva para cualquier valor, luego lo es para 223,6067, y por lo tanto es un mínimo.

Lo que pasa es que sería mejor dar una respuesta entera supongo, entonces evaluamos la función en 223 y 224 para elegir el que de menor cantidad

CT(223) = 0.005(223)^2 - 500ln(223) + 4401,89 = 1946,949

CT(224) = 0,005(224)^2 - 500ln(224) + 4401,89 = 1946,947

Luego el mínimo entero es 224

Y el mínimo real 223,6067

Y eso es todo.