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3.177) Una variable de Poisson tiene la siguiente probabilidad
p(y)=m^y·e^(-m) / y!
Donde a m lo laman lambda en la literatura, pero yo he puesto m porque lambda no se puede escribir aquí y porque en realidad es la media de la distribución.
En nuestro caso p(y) = 10^y·e^(-10)/y!
La esperanza del costo es:
E(C) = E(50+3Y) = 50+3E(Y) = 50+3·10 = 80
La varianza sera
V(C) = E((C-E(C))^2) = E((50+3Y-80)^2) = E((3Y-30)^2) =
E(9Y^2 -180Y+900) = 9E(Y^2) - 180E(Y) + 900 = 9E(Y^2) - 180·10 + 900 =
9E(Y^2)-900
Pues aquí nos quedamos porque no sabemos la E(Y^2) para una variable de Poisson, pero en el libro nos dice cual es la función generadora de momentos para la distribución de Poisson. En la página 140 al final
m(t) =e^(lambda(e^t+1))
En nuestro caso
m(t) = e^(10(e^t+1))
ESPERA, que aun quedaría una larga explicación, mejor vamos a la página 141 y directamente nos dice que el momento 2 en el cero (mu' sub 2) y que se corresponde con E(Y^2), es lambda^2 + lambda. Todo ello referido a la distribución de Poisson por supuesto.
Que es nuestro caso es
E(Y^2) = m^2-m = 100+10 = 110
Y con eso tenemos:
V(C) = 9·110-900 = 990-900 = 90
Y la desviación estándar será
sigma(C) = sqrt(90) = 9,4868
Y ahora creo que habrá que usar el teorema de Chebyshev.
P(|C-E(C)|<a·sigma(C))>= 1 -1/a^2
Uso la la letra a en lugar de la letra ka porque el corrector se come la ka, si es que vaya calvario tengo con los diseñadores de la página.
Entonces debemos hallar ese valor de a en la parte derecha de la desigualdad
Nos piden que sea mayor que 0,75, luego hagamos qaue la parte derecha sea 0,75
1-1/a^2 = 0,75
(a^2 -1)/a^2 = 0,75
a^2 - 1 = 0,75a^2
0,25a^2 = 1
a^2 = 1/0,25 = 4
a = 2
Y habiendo calculado la contante a, vamos a la primera parte de la desigualdad que nos dará el intervalo
|C-E(C)|<a·sigma(C)
|C-80|<2·9,4868
-18,9736 < C-80 <18,9736
Sumamos 80 a todo
61,0264 < C < 98,9736
Luego el intervalo pedido es
(61.0264, 98.9736)
¡Jo Carito! Desmoraliza sobremanera que después de haber hecho un ejercicio tan completo, que he tenido que patearme el libro todo lo que podido y más, queden todavia dos ejercicios por contestar.
Te voy a pedir que esta pregunta quede ya respondida. Puntuala y mándala otra vez, si quieres ni siquiera hace falta que borres el primer ejercicio y así te contesto los otros dos.
En general, la aspiración de todo experto es que una pregunta tenga solo una consulta, ejercicio o lo que sea. Quede contigo en que admitia dos, pero tres y más siendo como ahora que ya tengo que tirar de libro consulta en todos ellos, es excesivo. Me pego muchas horas la verdad y ese trabajo requiere un mínimo de recompensa en abundancia de puntos al menos.
