Hola muy buenas noches, necesito ayuda con la integral de (dx/1-2senx)
hola muy buenas noches, necesito ayuda con la integral de (dx/1-2senx) y la integral (tanxdx/1+cosx) por este método.. Por favor.despues de lasustitucion no se que hacer...
1 respuesta
En integrales racionales del tipo R(senx, cosx), cuando no queda más remedio, hay que acudir al cambio:
t = tg(x/2)
Supongo que en tu libro te pondrá cuales son las sustituciones que se deducen de este cambio. Son estas:
senx = 2t/(1+t^2)
cosx = (1-t^2) / (1+t^2)
dx = 2dt/(1+t^2)
Con ello es suficiente para transformar la integral trigonométrica en una integral racional de t.
En nuestro caso:
$dx/(1-2senx) = $[2dt/(1+t^2)] / [1- 4t/(1+t^2)] =
2$[dt/(1+t^2)] / [(1+t^2-4t)/(1+t^2)] =
2$dt/(1+t^2-4t)
¿Era este el cambio que habías hecho y habías llegado hasta aquí?
Ya me dirás si con esto te es suficiente o necesitas más ayuda, no quiero pasarme si tienes la intención de resolverla tú mismo.
hola buen dia, disculpa por no responder antes. hasta ese cambio llegue despues de alli nose como resolver......
Vayamos con ello.
2$dt/(1+ t^2 - 4t)
Supongo tendrás la teoría de como se integran estas funciones. Lo primero es calcular las raíces del denominador.
r = [4+-sqrt(16-4)]/2 = [4+-sqrt(12)]/2 = 2+-sqrt(3)
r1 = 2+sqrt(3)
r2 = 2-sqrt(3)
2$dt/(1+t^2-4t) = $(2dt/[(t-r1)(t-r2)]
He metido el 2 de nuevo dentro que lejos de molestar nos vendrá bien.
Ahora consiste en expresar ese cociente como suma de dos fracciones más simples que en este caso y según la teoría serán de la forma:
2 /[(t-r1)(t-r2) = a/(t-r1) + b/(t-r2)
Para calcular a y b hagamos primero la suma de fracciones
a/(t-r1) + b/(t-r2) = [a(t-r2) + b(t-r1)] / [(t-r1)(t-r2)] = [(a+b)t - ar2 - br1] / [(t-r1)(t-r2)]
Este numerador tiene que ser igual al original ya que los denominadores son iguales, luego
2 = (a+b)t - ar2 - br1
Esto es una igualdad de polinomios, luego deben ser igual monomio a monomio.
El coeficiente del monomio en t es cero a la izquierda luego debe serlo a la derecha, entonces:
(1) a+b=0
Y el monomio sin t también debe ser igual
(2) -ar2 - br1=2
Ahora no queda más remedio que poner los valores auténticos de r1 y r2
- a[2-sqrt(3)] - b[2+sqrt(3)] = 2
de la ecuación (1) tenemos a=-b
b[2-sqrt(3)] - b[2+sqrt(3)] = 2
-2bsqrt(3) = 2
b = -1/sqrt(3) = -sqrt(3)/3
a = sqrt(3)/3
Y ahora sustituimos estos valores en las dos integrales
$[sqrt(3)/3] dt/(t-r1) - $[sqrt(3)/3]dt/(t-r2) =
[sqrt(3)/3](ln|t-r1| - ln|t-r2|) + C =
[sqrt(3)/3]·ln|(t-r1)/(t-r2)| + C =
[sqrt(3)/3]·ln|[(tg(x/2) -2-sqrt(3)] / [(tg(x/2) -2+sqrt(3)]| + C
Y eso es todo, normalmente estas integrales suelen quedar así de feas. Si quieres dejarlo de otro modo puedes probar con la fórmula:
tg(x/2) = sqrt[(1-cosx)/sqrt(1+cosx)]
Pero no creo que obtengas anda mejor.
La otra integral mándala si quieres en otra pregunta tras puntuar esta.
