Números Complejos y encontrar incognitas

1) Efectivamente, está bien la fórmula del volumen del depósito

$$\begin{align}&V=\frac{4\pi r^3}{3}+4\pi r^2 =\\ &\\ &\frac{4\pi r^3+12\pi r^2}{3}=\\ &\\ &\text{Como el volumen es }\frac{80 \pi}{3} \;tenemos\\ &\\ &\\ &\frac{4\pi r^3+12\pi r^2}{3}= \frac{80 \pi}{3}\\ &\\ &4 r^3+12 r^2=80\\ &\\ &r^3+3r^2 = 20\\ &\end{align}$$

Y aunque parezca una ecuación sencilla no lo es ni mucho menos. En general, a nadie se le pide que sepa la fórmula de las ecuaciones de tercer grado ni que las solucione. Y si se pone un problema así se supone que está puesto de buena fe y que hay una solución entera. Y así es, probaríamos con los divisores de 20

{1, 2, 4, 5}

Y vemos que el 1 no cumple

1+3 = 4

pero el 2 sí

2^3 + 3·2^2 = 8 + 12 = 20

luego r=2

2) Calculamos u^3

u^2 = 4/9 - (4/9)sqrt(5)i - 5/9 = -1/9 -(4/9)sqrt(5)i

u^3 = -[1/9 + (4/9)sqrt(5)i]·[2/3 - sqrt(5)i/3] =

-2/27 + (1/27)sqrt(5)i - (8/27)sqrt(5)i - 20/27 =

-22/27 - (7/27)sqrt(5)i

Y ahora multiplicamos por wo=3i

u^3·wo = (-22/9)i + (7/9)sqrt(5) = (7/9)sqrt(5) - (22/9)i

Vamos e realizar las operaciones para comprobar la respuesta

1.739163982 - 2.44444444i

Si deben ser lo mismo, aunque quien las haya calculado lo hizo con muy poca precisión.

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Tenemos R3 = u^3·wo = u^3·(2i) = 1-sqrt(3)i

u^3 = [1-sqrt(3)i] / (2i) = 1/(2i) - sqrt(3)/2 =

i/(2i^2) - sqrt(3)/2 =-i/2 -sqrt(3)/2 = -sqrt(3)/2 - i/2

Este número complejo está en el tercer cuadrante y es unitario, corresponde al ángulo 210º

ya que cos(210º) = -sqrt(3)/2 y sen(210º)= -1/2

El número u se obtiene calculando las raíces cúbicas de u^3. Para ello se calcula la raíz cúbica del módulo, que por ser unitario es 1 y se divide el ángulo entre 3

210º/3 =70º

Ese es el ángulo de la primera raíz, para la segunda y tercera hay que sumar 360º/3= 120º más cada vez, luego los ángulos son 70º, 190º y 310º

En el primer cuadrante es

u = cos(70º) + i·sen(70º) = 0.3420201433 + 0.9396926208i

En el tercero es

u = cos(190º) + i·sen(190º) = -0.984807753 - 0.173648177i

Y en el cuarto

u = cos(310º) + i·sen(310º) = 0.6427876097 - 0.7660444431i

Y eso es todo.