Estadística matemática con aplicaciones 5.142

5.142)

a)

Usaremos el teorema 5.14 que dice E(Y1) = E[E(Y1|Y2)]

En nuestro caso será

E(Y) = E[E(Y|p)]

Y|p es una binomial, luego E(Y|p) = np

E(Y) = E(np) =nE(p)

Donde p es una beta. En la página 195 te dice que la esperanza de una distribución Beta(alfa,beta) = alfa/(alfa+beta) luego

E(Y) = n·alfa/(alfa+beta)

b)

Y el teorema 5.15 dice

V(Y1)= E[V(Y1|Y2)] + V[E(Y1|Y2)]

Que para nuestro caso es

V(Y) = E[V(Y|p)] + V[E(Y|p)]

Y|p ya dijimos que era una binomial, luego

E(Y|p) = np

V(Y|p) = np(1-p)

V(Y) = E[np(1-p)] + V[np] =

Estas esperanzas y varianzas son las de una p ~ Beta(alfa, beta) que tienes en la página 195

$$\begin{align}&E(Y) = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}\\ &\\ &V(Y) = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\\ &\\ &\\ &\text{Y para la nuestra se traduce en:}\\ &\\ &V(Y)= nE(p) - nE(p^2) + n^2·V(p) =\\ &\\ &\frac{n\alpha}{\alpha+\beta}- nE(p^2) + \frac{n^2\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}=\\ &\\ &\text{Para calcular E(p}^2), \text{usamos que } V(p) = E(p^2)-[E(p)]^2,\\ &\\ &\text{luego } \\ &\\ &nE(p^2) = nV(p)+n[E(p)]^2\\ &\\ &\text {con todo esto queda}\\ &\\ &V(Y) = \frac{n\alpha}{\alpha+\beta}- \frac{n\alpha^2}{(\alpha+\beta)^2} + \frac{(n^2-n)\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}=\\ &\\ &\\ &\frac{n\alpha(\alpha+\beta)(\alpha+\beta+1)-n\alpha^2(\alpha+\beta+1)+n^2\alpha\beta-n\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)} =\\ &\\ &\\ &\frac{(n\alpha^2+n\alpha\beta-n\alpha^2)(\alpha+\beta+1)+n^2\alpha\beta-n\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}=\\ &\\ &\\ &\\ &\frac{n\alpha\beta(\alpha+\beta+1)+n\alpha\beta(n-1)}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}=\\ &\\ &\\ &\frac{n\alpha\beta(\alpha+\beta+n)}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\\ &\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.