Probabilidad y estadística ... Función de densidad conjunta

a) Vamos a tener que hacer unas cuantas integrales, conviene calcularlos límites

Y2 puede valer entre 0 y 1

Y1 entre Y2 y 1

O si lo ponemos al revés porque a mi siempre me gusta integrar con este orden dy2·dy1

Y1 entre 0 y 1

Y2 entre 0 y Y1

$$\begin{align}&E(Y_1-Y_2)=\int_0^1\int_0^{y1} 3y_1(y_1-y_2)dy_2dy_1=\\ &\\ &3\int_0^1\left[ y_1^2y_2-y_1 \frac{y_2^2}{2} \right]_0^{y_1}dy_1=  3\int_0^1 \frac {y_1^3}{2}dy_1 =\\ &\\ &\\ &3\left[  \frac{y_1^4}{8}\right]_0^1= \frac 38\end{align}$$

b) P[Y2 <= (Y1)/2]

A Y1 le daremos cualquier valor entre 0 y 1 mientras que Y2 deberá valer menos que (Y1)/2

$$\begin{align}&P(Y_2 \le Y_1/2)= \int_0^1\int_0^{y1/2}3y_1dy_2dy_1 =\\ &\int_0^1[3y_1y_2]_0^{y_1/2}dy_1=\int_0^1 \frac{3y_1^2}{2}dy_1=\\ &\\ &\\ &\left[ \frac{y_1^3}{2} \right]_0^1 = \frac 12\end{align}$$

c) Dado un punto y2 hay que hacer la integral de la probabilidad de todos los puntos que tienen y2 como segunda coordenada que son una recta horizontal con límites y_2 y 1

$$f_2(y_2)=\int_{y_2}^1 3y_1 dy_1 =\left[ \frac{3y_1^2}{2} \right]_{y_2}^1 = \frac {3(1-y_2^2)}{2}$$

Y eso es todo.