Probabilidad y estadística 39

Dianis 1556!
2.79
Serán independientes si P(A) · P(B) = P(AnB)
Dos eventos mutuamente excluyentes tienen nula la probabilidad de su intersección luego debería cumplirse
P(A) · P(B) = 0
Como P(A) > 0 solo quedaría la posibilidad de que P(B) fuese 0, o sea, que B fuera un evento imposible.
Así que unicamente serán independientes si B es el evento imposible.
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2.80
Puesto que
A C B ==> (AnB) = A
luego
P(AnB) = P(A)
Si fueran independientes
debería ser
P(AnB) = P(A) · P(B)
luego de ambas se deduce
P(A) · P(B) = P(A)
Como P(A)>0 podemos dividir ambas por P(A)
P(B) = 1
Luego únicamente serán independientes si P(B) =1, o sea, si B es el espacio muestral completo.
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2.81
Si P(A)>0, P(B)> 0 y P(A) < P(A|B) demuestre que P(B)<P(B|A)
Aplicamos la definición de probabilidad condicionada
P(A) < P(A|B) = P(AnB) / P(B)  ==>
P(B) < P(AnB) /P(A) = P(B|A)
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2.82
Suponga ACB y P(A) > 0 y P(B) > 0 demuestre que P(B|A) = 1 y P(A|B) = P(A)/P(B)
Si A C B ==> AnB = A
luego P(AnB) = P(A) y
P(B|A) = P(AnB) / P(A) = P(A) / P(A) = 1
Y también
P(A|B) = P(AnB)/P(B) = P(A)/P(B)
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2.83
Si A y B son mutuamente excluyentes y P(B) > 0 demostrar
P(A | AUB) = P(A) / (P(A) + P(B))
Aplicamos la definición de probabilidad condicionada:
P(A | AUB) = P(A n (AUB)) / P(AUB)
Pero A C (AUB) ==> A n (AUB) = A y ya tenemos
P(A | AUB) = P(A) / P(AUB)
y P(AUB) = P(A)+P(B)-P(AnB) pero como A y B son mutuamente excluyentes P(AnB) = 0
luego P(AUB) = P(A)+P(B).  Y con esto vamos ya está resuelto
P(A | AUB) = P(A) / (P(A) + P(B))
Y eso es todo, son muy sencillos, lo peor es escribir con ordenador tantos cambios a muyusculas.