Problema numero 10 - The theory of numbers

Este dice que hay que probar que 169^323 + 323^169 es múltiplo de 12

Vamos a hallar una potencia de 169 que sea congruente con 1 módulo 12 para

169 / 12 = 14.08..

169 - 14·12 = 1

Pues a la primera, tenemos

169 :~1 (mod 12)

luego

169^n :~ 1 (mod 12)

A ver si hay la misma suerte con 323

323 / 12 = 26.91...

323 - 26·12 = 11

Bueno aquí habrá que calcular más

323 :~ 11 (mod 12)

323^2 :~ 11·11 :~ 121 :~ 1 (mod 12)

323^3 :~ 11· 1 :~ 11 (mod 12

Se repite el residuo y haremos la misma operación que hicimos en 323^2 y después la misma que en el cubo y asi.

Tenemos por tanto

323^n :~ 11 si n es impar

323^n :~ 1 si n es par

Nosotros tenemos

323^169 :~ 11 (mod 12)

Y sumamos las congruencias

169^323 + 323^169 :~ 1 + 11 :~ 12 :~ 0 (mod 12)

Luego 12 divide a 169^323 + 323^169

Y eso es todo.