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Tenemos la suma de los n términos primeros de una progresión geométrica de razón 1/3.
Eso tiene una formula que es
Sn = a1(1-r^n)/(1-r)
Habrá que tener un poco de cuidado ya que a1 es el elemento primero mientras que esta progresión se presta más a llamar a0 al primer elemento, ya que es 1/3^0 y entonces hay n+1 términos
S(n+1) = 1[1 - (1/3)^(n+1)] /(1-1/3) =
{1- 1/[3^(n+1)]} / (2/3) =
1/(2/3) - {1/[3^(n+1)]} / (2/3) =
3/2 - 3/{2[3^(n+1)]} =
en el segundo término simplificamos el 3 del numerador con uno del denominador
= 3/2 - 1/[2(3^n)] =
3/2 - (1/2) (1/3^n)
Y eso es todo.
estos son ejercicios de la bartle
Este ejercicio está bien demostrado así. Ayer tenía la duda de si hacerlo asó o por inducción y pensé que a lo mejor así era más fácil. Si acaso vamos a demostrarlo por inducción por si eso es lo que quieren, pero yo no lo encuentro en en Bartle Introducción al Análisis Matemático de una variable, tercera edición.
Primero vemos que se cumple para n=1
la suma de la sucesión es
1+1/3 = 4/3
y el valor de la fórmula es
3/2 - (1/2)(1/3)^1 = 3/2 -1/6 = (9-1)/6 = 8/6 = 4/3
luego se cumple.
Ahora veamos que se si cumple para n se cumple para n+1
1+1/3 +.....+ 1/3^n = 3/2 - (1/2)(1/3)^n
$$\begin{align}&1 +\frac 13 +.....+ \frac{1}{3^n} + \frac{1}{3^{n+1}} =\\ &\\ &\frac 32 - \frac 12 ·\frac{1}{3^n} + \frac{1}{3^{n+1}} =\\ &\\ &\frac 32 - \frac{3-2}{2·3^{n+1}} =\frac 32 - \frac{1}{2·3^{n+1}}=\\ &\\ &\frac 32 - \frac{1}{2}·\frac {1}{3^{n+1}}=\frac 32 - \frac{1}{2}·\left(\frac {1}{3}\right)^{n+1}\end{align}$$Luego se cumple la fórmula al pie de la letra para n+1 y queda demostrada la inducción.
