Ayuda con este problema: sean f1(y),...,fn(y) un conjunto finito

Vamos a hacer unas pruebas para proponer una fórmula.

Para hacerlo mas comprensible llamaré f, g, h a las funciones
(fg)' = f'g + fg'
(fgh)' = (fg)'h + fgh' = f'gh+fg'h +fgh'
(fghk)' =(fgh)'k + fghk' = f'ghk+fg'hk +fgh'k + fghk'
Se ve claramente que la derivada del producto de varias funciones es una suma de productos, en cada una de las cuales está derivada una función y las otras están sin derivar.

Para n=1 se cumple, e incluso para n=2, 3 y 4 como hemos probado.

Supongamos que se cumple para n funciones

$$\begin{align}&(f_1f_2···f_n·f_{n+1})'=\\ &\\ &\text{Aplicando la regla de derivación del producto}\\ &\\ &(f_1f_2···f_n)´f_{n+1}+f_1f_2···f_nf_{n+1}^´=\\ &\\ &(f_1^´ f_2···f_nf_{n+1})+...+ (f_1f_2 ···f_n 'f_{n+1})+(f_1f_2···f_nf_{n+1}^´)\end{align}$$

Luego se cumple para n+1 y queda demostrada la fórmula de que la derivada del producto es un suma de productos, cada uno de ellos con una de las funciones derivada y las otras sin derivar.

Y eso es todo.