¿Cómo se hace esta derivada parcial?

Aquí hay un problema de comprensión internacional. Ya sabes que los anglosajones acostumbran a ir contra el mundo, conducen por la izquierda, usar sus sistemas de medidas de longitud, peso, capacidad, etc. propias que hicieron que una sonda se estrellase contra Marte por usar yardas en vez de metros, llaman convexo a lo que es cóncavo, etc.

Y una de las cosas que tienen es que llaman log al logaritmo neperiano. Si lees un libro inglés de matemáticas no verás la abreviatura "ln" de logaritmo neperiano, veras "log" en su lugar. Si usas un programa de gráficas o cálculo inglés tendrás que escribir log para el logaritmo neperiano, aparte de lo que más odio de ellos que el intercambio entre las funciones del punto y la coma a la hora de escribir los números.

Pues todo alegato sirve para decirte que seguramente con log están queriendo decir logaritmo neperiano, para estar seguro habría que conocer de dónde ha salido el problema, o si te lo ha mandado el profesor saber si tienen la costumbre de poner "ln" o "log" para el logaritmo neperiano. Y en todo caso si tienes profesor lo mejor sería preguntarle directamente.

Y si después de todo esto estás seguro que con log quieren decir logaritmo en base 10 (cosa que considero poco probable porque no suelen usarse) la derivada del logaritmo en cualquier base (a) es esta

$$\begin{align}&(log_ax)' = \frac 1x·log_ae\\ &\\ &\text{como }log_ae=\frac{ln\,e}{ln\,a}=\frac{1}{ln\,a}\text{ podemos escribir}\\ &\\ &\\ &(log_ax)' = \frac{1}{x·ln\,a}\\ &\\ &\\ &\\ &\text{luego}\\ &\\ &\\ &(log_{10}x)' = \frac{1}{x·ln\,10}\end{align}$$

De todas formas, si llama u1 a la derivada de u respecto a x1 y u2 a la derivada de u respecto a x2 te va a dar la misma solución ya que:

Tomando log como logaritmo neperiano

$$\begin{align}&u_1=\frac{2}{x_1}\\ &\\ &u_2= \frac{4}{x_2}\\ &\\ &\frac{u_1}{u_2}=\frac{2}{x_1}\div \frac{4}{x_2}=\frac{2x_2}{4x_1}=\frac{x_2}{2x_1}\end{align}$$

y tomándolo como logaritmo en base 10

$$\begin{align}&u_1=\frac{2}{x_1·ln\,10}\\ &\\ &u_2= \frac{4}{x_2·ln\,10}\\ &\\ &\frac{u_1}{u_2}=\frac{2}{x_1·ln\,10}\div \frac{4}{x_2·ln\,10}=\frac{2x_2·ln\,10}{4x_1·ln\,10}=\frac{x_2}{2x_1}\end{align}$$

Y eso es todo.