Teoría de Números - Parte 27

La ecuación tiene soluciones si y solo si el mcd de los coeficientes de x e y divide al valor de la derecha

Calcularemos por tanto ese mcd y lo hacemos por el algoritmo de Euclides que luego viene bien para hallar la respuesta particular.

1243 = 791 + 452

791 = 452 + 339

452 = 339 + 113

339 = 3 · 113 + 0

Luego el mcd es 113

2825 / 113 = 25

Luego 113 | 2825 y la ecuación tiene soluciones, asi que al laborioso proceso de hallar la combinación lineal, esta vez será más fácil

113 = 452 - 339 =

452 - 791 + 452 = -791 + 2 · 452 =

-791 + 2 · 1243 - 2 · 791 = 2 · 1243 - 3 · 791

Lo comprobamos

2 · 1243 - 3 · 791 = 113

Habíamos quedado en que 2825 = 113 · 25 luego vamos a multiplicar la igualdad por 25 para obtener la ecuación diofántica

50 · 1243 - 75 · 791 = 2825

luego la solución particular es

x0 = 50

y0 = -75

Y la solución general ya sabemos que es

x = x0 + nB/(A, B)

y = y0 - nA(A, B)

luego

x = 50 + n·791/113

y = -75 +n·1243/113

que simplificado es

x = 50 + 7n

y = -75 - 11n

Y eso es todo.