Análisis matemático, libro lima

Si X es finito o es vacío o existe n tal que hay una aplicación f biyectiva de X en In.

Y el teorema 3 dice que si Y es infinito existe una aplicación g inyectiva de N en Y

La composición de aplicaciones (g o f) es una aplicación de X en Y

F g

X ---------> In ----------> Y

Veamos que es inyectiva

sea (gof)(n) = (gof)(m)

g[f(n)] = g[f(m)]

como g es inyectiva

f(n) = f(m)

como f es biyectiva

n = m

Luego gof es inyectiva.

-----------------------

Por el teorema 3 tenemos la aplicación g inyectiva de In en Y y también tenemos la f biyectiva de X en I, las mismas que antes

Creamos la aplicación suprayectiva h de Y en In de esta forma

Si y € Im(g) entonces h(y) = g^-1(y)

Si y no€ Im(g) entonces h(y) = 1

y la aplicación suprayectiva j de Y en X será

i = f^-1oh

Veamos que es suprayectiva

Dado x € X veamos que existe y€Y tal que j(y)=x

Tomamos f(x) y luego y=g[f(x)]

Este elemento y verifica

f^-1[h(y)] =

Como y = g[f(x)] significa que y € Imf luego h(y) = g^-1(y)

= f^-1[g^-1(y)] = f^-1[g^-1(g[f(x)])] =

Como f y g son inyectivas su composición es la identidad

= f^-1[f(x)] = x

Luego j(y) = x y j es suprayectiva de Y en X

Y eso es todo.