Encuentra la prob. Marginal
Un favor al experto: si pudiese resolver los incisos. Gracias!
Sean x y y los niveles de concentración en ppm de dos contaminantes en una determinada porción de un tanque de agua. Si la función de densidad conjunta de probabilidad está dada por:
f(x,y) = (x+y) / 8000
0 mayor que x,y menor que 20 o para cualquier otro valor.
Resuelve:
a) ¿Cuál es la probabilidad conjunta de que el contaminante x sea menor 10 y el
contaminante y sea menor 8?
b) Encuentra las funciones de densidad marginal fx(x) y fy(y).
1 Respuesta
No respondí antes esta pregunta porque eran demasiados ejercicios en una pregunta. Así sucedió que te contesto uno que simplemente te dio indicaciones.
Como voe que has mandado repetida la pregunta te contestaré aquí al ejercicio a) y en la otra al b)
Primero mando contestaciones para tomar posesión de las preguntas, luego las respondo.
Hay que hacer la integral doble de tal forma que los límites izquierdos sean aquellos donde empieza a haber probabilidad distinta de cero y los derechos sean los que nos dicen
Los limites izquierdos son cero por lo que dice el enunciado
f(x,y) = (x+y) / 8000; si 0 <= x,y <= 20
0 en el resto
$$\begin{align}&\int_0^{10}\int_0^8 \frac{x+y}{8000}dydx=\\ &\\ &\frac{1}{8000}\int_0^{10}\int_0^8 (x+y)dydx=\\ &\\ &\frac{1}{8000}\int_0^{10}\left[xy + \frac{y^2}{2} \right]_0^8dx=\\ &\\ &\frac{1}{8000}\int_0^{10}(8x+32)dx=\\ &\\ &\frac{1}{8000}\left[4x^2+32x \right]_0^{10}=\\ &\\ &\frac{1}{8000}\left(400+320 \right)=\\ &\\ &\frac{720}{8000}= \frac{9}{100}\end{align}$$La otra puede que tarde un poco en contestarla, hace bastantes días que no contesto una de ese tipo.
Espera, que veo que son preguntas distintas, yo pensé que era repetida por el comienzo, entonces espera que contesto el apartado b) de esta.
Las probabilidades marginales se obtienen haciendo solo una parte de la integral doble. Para la marginal de x se integra respecto de y, y viceversa, de esta forma:
$$\begin{align}&f_x(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy=\\ &\\ &\int_0^{20}\frac{x+y}{8000}dy=\\ &\\ &\frac{1}{8000}\left[xy+\frac{y^2}{2} \right]_0^{20} =\\ &\\ &\\ &\frac{20x+200}{8000}=\frac{x+10}{400}\\ &\\ &\\ &\\ &f_x(x) =\frac{x+10}{400}\\ &\\ &\text{Los papeles de x e y son intercambiables,}\\ &\text{nada las diferencia, luego:} \\ &\\ &f_y(y) =\frac{y+10}{400}\\ &\\ &\\ &\end{align}$$Y eso es todo.
