¿Área máxima de un cilindro dentro de un cono?

El cilindro tendrá un radio r y una altura h. Con lo cual su volumen será:
V = Pi·h·r^2
Pero el hecho de estar inscrito en el cono hace que a cada radio del cilindro le corresponde una única altura y viceversa
r=10 ------> h=0
r=0 --------> h=24
Si incrementamos r en 10 dismininuye h en 24. A cada cm de incremento del radio le corresponden 24/10 de disminución de la altura
Si incrementamos r en x disminuye h en (24/10)x
h = 24 - (24/10)r = (240-24r)/10 = (120-12r)/5
Luego podemos poner el volumen solo en función del radio
V(r) = Pi·[(120-12r)/5]r^2 = (Pi/5)(120r^2 - 12r^3)
Y ahora derivamos e igualamos a 0 para calcular el máximo
V'(r) =(pi/5)(240r -36r^2) = 0
240r - 36r^2 = 0
r(240-36r) = 0
una solución es r=0
y la otra
240 - 36 r = 0
r = 240/36 = 20/3
La derivada segunda es
V''(r) = (pi/5)(240 - 72r)
V''(0) =240pi/5 >0 luego es mínimo
V''(20/3) = (pi/5)(240 -72·20/3) = (pi/5)(720-1440)/3 =-(pi/5)·720/3 <0 luego máximo
Y ahora calculamos la altura
h = (120-12r)/5 = (120 - 12·20/3) / 5 = (120-80)/5 = 8

Luego la solución es
r = 20/3 = 6.6666...cm
h = 8 cm

Y eso es todo.