Ejercicio 1 de matemáticas

Demuestre que no existe racional tal que su cuadrado sea 12.

Supongamos que exista ese número racional.

Sea r = p/q tal que r^2 = 12 con p y q primos entre sí.

p^2 / q^2 = 12

p^2 = 12q^2

p^2 = 2^2 · 3 · q^2

p^2 = 3 · (2q)^2

Luego p^2 es múltiplo de 3. Pero si p^2 es múltiplo de 3 también lo es p ya que el factor primo 3 de p^2 tendrá exponente par.

Entonces será p = 3k, lo llevamos a la igualdad anterior

(3k)^2 = 3·(2q)^2

9k^2 = 3(2q)^2

3k^2 = (2q)^2

Y ahora hemos llegado a que (2q)^2 es múltiplo de 3, para ello debe serlo q^2 y para ello debe serlo q, luego q es múltiplo de 3

Y hemos concluido que tanto p como q son múltiplos de 3, pero eso es absurdo porque habíamos supuesto que p y q eran primos entre si, luego la hipótesis que que exista un número racional cuyo cuadrado es 12 es falsa.

Y eso es todo.