Ayudame porfix de probabilidades y estadísticas

Primero voy a asegurarme que es una función de densidad, para ello la probabilidad total debe ser 1

$$\int_1^5 \frac x{12}dx = \left. \frac{x^2}{24}\right|_1^5=\frac{25}{24}-\frac{1}{24}=\frac{24}{24}=1$$

Vale, ahora calculamos lo que piden:

a) La esperanza es la integral de x por la función de densidad

$$\begin{align}&E(X)=\int_1^5 x ·\frac x{12}dx = \int_1^5 \frac {x^2}{12}dx=\\ &\\ &\\ &\left. \frac{x^3}{36}\right|_1^5=\frac{125}{36}-\frac{1}{36}=\frac{124}{36}=\frac{31}{9}\end{align}$$

b) La varianza es la esperanza de (X menos la media)^2

$$\begin{align}&V(X) = E[(X-\mu)^2]\\ &\\ &\text{Hay un teorema que simplica el cálculo}\\ &\\ &V(X) =\sigma^2= E(X^2) - [E(X)]^2 = E(X^2)-\mu^2\\ &\\ &V(X) =\sigma^2= \int_1^5 x^2·\frac{x}{12}dx - \left(\frac {31}{9}\right)^2\\ &\\ &=\left.\frac{x^4}{48}  \right|_1^5- \frac{961}{81}\\ &\\ &=\frac{625}{48}-\frac 1{48}-\frac{961}{81}=\frac{624}{48}-\frac{961}{81}=\\ &\\ &\\ &\frac{624·81-961·48}{48·81}= \frac{4416}{3888}=\frac{92}{61}\\ &\\ &\\ &\text{Y la desviación es:}\\ &\\ &\sigma=\sqrt{\frac{92}{61}}\approx 1.065740339\end{align}$$

Y eso es todo.