Evaluación de integrales, sumas de Riemann

Ya me mandaste esta pregunta por privado pero esta la situación que tengo que arañar puntos de donde sea, te la respondo también aquí

$$\begin{align}&S = \lim_{n \to\infty}\sum_{i=0}^{n-1}f(x_i)\Delta x_i\\ &\\ &\Delta x_i = \frac{4-3}{n} = \frac 1n\\ &\\ &f(x_i)=f\left(3+\frac{i}{n}\right)=\\ &\\ &27+\frac{27i}{n}+\frac{9i^2}{n^2}+\frac{i^3}{n^3}-7=\\ &\\ &20+\frac{27i}{n}+\frac{9i^2}{n^2}+\frac{i^3}{n^3}\\ &\\ &\\ &S=\frac 1n\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n-1}\left( 20+\frac{27i}{n}+\frac{9i^2}{n^2}+\frac{i^3}{n^3} \right)=\\ &\\ &\lim_{n\to\infty}(\frac{20n}{n}+\frac{27}{n^2}·\frac{n(n-1)}{2}+\\ &\\ &\frac{9}{n^3}·\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}+\frac{(n-1)^2n^2}{4n^4})=\\ &\\ &20+\frac{27}{2}+\frac{18}{6}+\frac 14=\\ &\\ &\\ &\frac{240+162+36+3}{12}=\frac{441}{12}=\frac{147}{4}\end{align}$$

Es una pasada, se ha usado la fórmula de sucesiones aritméticas que la conocemos per se ha usado también la fórmula de la sumas de cuadrados y de cubos que no creo que las conozcas. Eso me induce a pensar que tal vez querían que hicieses una aproximación por el método de los
cuadrados, trapecios o Simpson en lugar de la suma integral.

$$\begin{align}&\int_3^4(x^3-7)dx=\\ &\\ &\left[\frac{x^4}{4}-7x   \right]_3^4=64-28-\frac{81}{4}+21=\\ &\\ &57-\frac{81}{4}=\frac{228-81}{4}=\frac{147}{4}\end{align}$$

Y eso es todo.