Probar que el inf(P)=0. Ínfimo.
Solicito tu ayuda. Gracias.
Sea P, subconjunto de Reales, un conjunto tal que x>= 0 para todo x en P y tal que para todo entero k exite un x_k en P que cumple k(x_k) <= 1. Pruébese que 0= inf(P).
1 Respuesta
Cero es una cota inferior del conjunto por la propia definición del conjunto. Queda por demostrar que es la mayor cota inferior.
Supongamos que existiese una cota inferior superior e>0
Tomemos k = [1/e]+1 donde [1/e] es la parte entera de 1/e. Por definición existe un x_k tal que
k(x_k) <= 1 luego
[1/e] (x_k) <=1
1) x_k <= 1/([1/e]+1) < 1/(1/e) = e
la desigualdad se da porque
[1/e]+1 > 1/e
y al invertir cambia el sentido de la desigualdad
1/([1/e]+1) < 1/e
Pues eso. que en 1) habíamos demostrado
x_k < e
Luego absurdo ya e no es cota inferior del conjunto. Y por tanto el ínfimo es cero.
Y eso es todo.
