Contraste de hipótesis y probabilidad.
Se admite que un programador es eficiente si el número medio de fallos que comete, por cada página de programa realizado, es, como máximo, igual a 0,02. Se eligen 100 páginas de programas confeccionados por un programador, planteando la hipótesis de que, si se detectan más de 4 fallos se le penalizará.
Suponiendo que el número de fallos por página sigue una variable de Poisson, se pide:
1. Plantear el contraste adecuado. Determinar las regiones de aceptación y críticas.
2. Determinar el nivel de significación.
3. Hallar la probabilidad de no penalizar al programador si realmente tiene una media de fallos por página programada igual a 0,04.
Los dos primeros puntos creo tenerlos bien resueltos pero no se como hacer el punto 3 con la variable de Poisson.
Gracias de antemano.
1 Respuesta
1) Para una distribución de Poisson con hipótesis alternativa solo válida si es mayor que la hipótesis nula
$$\begin{align}&P(\lambda)\\ &H_0: \lambda = \lambda_0\\ &H_a: \lambda \gt \lambda_0\\ &\\ &\text {el contraste de hipótesis es}\\ &\\ &\overline x \gt \lambda_0+ z_{\alpha}\sqrt{\frac{\lambda_0}{n}}\\ &\\ &\\ &\end{align}$$Si la media es mayor que esa cantidad de la derecha se rechaza Ho y se adopta Ha.
No nos dicen el nivel de confianza.
¿Suponemos un 95%?
Ya todo esto lo haré mañana que tengo que ir a dormir. Si me confirmas el nivel de confianza mejor.
El nivel de confianza no nos lo dicen, por lo que si que tomamos el 95%.
El enunciado está copiado tal cual, de todas formas lo revisé y no pone nada más.
Gracias.
a) El coeficiente de confianza habitual para el 95% es 1.96, pero eso es cuando la zona de rechazo es tanto mayor como menor de la media. Aquí solo se rechaza cuando sea mayor, entonces el coeficiente de confianza es el valor de la tabla N(0,1) tal que da una probabilidad de 0.95 y ese es 1.645Con esto, la media de fallos para la cual se rechaza Ho es
$$\overline x \gt 0.02+1.645 \sqrt{\frac{0.02}{100}}=0.0432638131$$Luego si la media es inferior a 0.0432638131 se debe mantener la hipótesis de que es buen programador. Y si es superior a esa cantidad hay que rechazarla y decir que es mal programador.
b) Se le ha considerado mal programador con un promedio de 0.04, vamos a calcular el nivel de significación que corresponde a esa decisión
$$\begin{align}&0.02+z_{\alpha} \sqrt{\frac{0.02}{100}}=0.04\\ &\\ &z_{\alpha}=\frac{0.04-0.02}{\sqrt{\frac{0.02}{100}}}=1.414213562\\ &\\ &\\ &\end{align}$$Y ahora calculamos la probabilidad de es valor
Tabla(1.41) = 0.9207
Tabla(1.42) = 0.9222
Y el valor interpolado es
0.9207 + 0.4213562(0.9222-0.9207) =0.921332
Luego el nivel se significancia con el que se le considera mal programador es inferior al 92.1332%
c)
Para no ser penalizado deberá cometer 0,1,2 o 3 fallos
La probabilidad de cometer esos fallos se calcula haciendo lambda igual a la cantidad de fallos esperada en esas 100 hojas, luego lambda = 4
$$\begin{align}&P(\le 3)=\sum_{i=0}^3 \frac{e^{-4}4^i}{i!}=\\ &\\ &e^{-4}\left(1+4+\frac{16}{2}+\frac{64}{6}\right)=\\ &\\ &e^{-4}\left(13+\frac{32}3 \right)=\frac{71}{3}e^{-4}=0.43347\end{align}$$Esa es la probabilidad que tiene de librarse
