Problema de Teoría de Números.
Hola Valero:
Resolver la congruencia lineal: 87x :~ 57(mod 105)
Espero tu ayuda!
1 respuesta
De los tres métodos que me mandaste en unas preguntas solo el primero lo veo factible para resolver esta ecuación
Decía que dada la ecuación
ax :~ b (mod m)
se buscaba una solución r, s de la ecuación
ar + ms = b
con lo cual
ar :~ b (mod m)
y r era la solución
Luego la ecuación diofántica que hay que plantear es
87r + 105s = 57
mcd(87, 105 ) = mcd(3·29, 3·5·7) = 3
y 3 divide a 57 luego hay solución
Usamos el algoritmo extendido de Euclides
105 = 87 + 18 ==> 18 = 105 - 87
87 = 4·18 + 15 ==> 15 = 87 - 4·18
18 = 15 + 3 ==> 3 = 18-15
15 = 5·3 + 0
Y ahora se hace al contrario
3 = 18 -15 =
18 - 87 + 4·18 = 5·18 - 87 =
5·(105 - 87) - 87 = 5·105 - 6·87
3 = -6·87 + 5·105
57 = 19·3 = -114·87 + 95·105
Luego
87r + 105s = -114·87 + 95·105
r=-114, s=95
La r será la respuesta, lo que pasa es que no nos gusta que sea negativa
El conjunto total de soluciones es
r = -114 + (105/3)i = -114+35i
s = 95 - (87/3)i = 95 - 29i
Vamos a tomar i=4
r = -114+4·35 = 26
x=26
Vamos a comprobarla
87·26 = 2262
2262 / 105 = 21.54...
2262 - 21·105 = 57
Luego esta bien.
Y eso es todo.
