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Hace tantos años que estudié, y a esto no le he dado ninguna utilidad posterior que lo tengo completamente olvidado. O sea, no es solo que lo tenga olvidado, sino que incluso no recuerdo si lo estudié. Por supuesto que el teorema de Lagrange es fundamental y lo sé, pero no recuerdo si la demostración venía del estudio de las clases laterales o de otra forma.
Voy a pedirte un favor. No me mandes directamente las preguntas porque no puedo darles salida a corto plazo y va a quedar bloqueada mi reserva de preguntas que puedo tener pendientes de contestar y no podrán mandarme preguntas otros usuarios. Mándalas al tablón. También te voy a pedir que tengas paciencia porque puede que tarde en contestarlas o no pueda, para el álgebra hay que tener las ideas muy claras y una visión de todo el conjunto. Ya hubo otros momentos en que de repente me llovieron preguntas de álgebra y tuve que dejarlas todas.
El teorema 11.2 decía al final que toda clase lateral izquierda debe ser una clase lateral a derecha, pero en las condiciones puede que la operación inducida esté bien definida y eso no se da siempre tal como demuestra con el ejemplo 11.2. Así que tendremos que demostrar que para este caso particular se cumple.
El índice (G:H), que así se denota en el libro de Fraleigh que tengo yo, es el número de clases laterales izquierdas (o derechas). Como es 2 solo habrá dos clase laterales una será la del elemento neutro y otra la de un elemento que no esté en esa clase.
La clase izquierda del elemento neutro e es esta:
eH = {eh | h € H } = {h | h € H} = H
y la derecha
He = {he | h € H} = {h | h € H} = H
Luego una clase es H tanto a izquierda como a derecha y la otra clase por ambos lados es el conjunto complementario de H.
Las dos clases a izquierdas y derechas son las mismas.
Y eso es todo.
