Tengo una duda sobre como se integra este ejercicio

Parece lógico que el cambio que se tenga que hacer es t = x^2+1. Antes pondré los factores de modo que veas ese cambio es bueno.

$$\begin{align}&\int x^3(x^2+1)^8dx = \int x^2·(x^2+1)^8·xdx=\\ &\\ &t=x^2+1 \implies x^2=t-1\\ &dt=2xdx \implies xdx=\frac {dt}{2}\\ &\\ &\int(t-1)t^8·\frac{dt}{2}=\frac 12\int(t^9-t^8)dt=\\ &\\ &\frac 12\left(\frac{t^{10}}{10}-\frac{t^9}{9}\right)+C=\\ &\\ &\frac{(x^2+1)^{10}}{20}- \frac{(x^2+1)^9}{18}+C\\ &\end{align}$$

¿es decir que x^3 tengo que descomponerlo en x^2 y x para que pueda reemplazar x^2 al momento de despejar t=x^2 +1 quedándome x^2= t -1 ?

Si es eso. Cuando se resuelve una integral por cambio de variable en la forma t = f(x) lo principal es que el diferencial del cambio f '(x)dx sea un factor (salvo multiplicación por una constante) del integrando. Y que todo aquello que no se puede sustituir directamente con el cambio f(x)=t se pueda sustituir con alguna función de t.

Entonces ya decía que el cambio que parecía natural es

t = x^2+1

el diferencial del cambio es

dt= 2x dx

Salvo el factor constante 2 es algo que está en el integrando si lo descomponemos como he hecho.

Y después de sustituir el dt y el (x^2+1)^8 por t^8 solo quedará un x^2 que es facíl de sustituir por t-1

Con lo cual todo ha sido sustituido y además queda algo fácil de integrar.

Y eso es todo.

Muchísimas gracias por la ayuda y por su tiempo!!!

Saludos