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Tiene dos partes. La primera es determinar si 227 divide a 3^32 + 8
En términos de congruencia sería
3^32 + 8 :~ 0 (mod 227)
3^32 :~ -8 (mod 227)
3^32 :~ 219 (mod 227)
Veamos si eso es verdadero
Hasta 3^4 los residuos coinciden con la potencia
3^8 = 3^4·3^4 :~ 81·81 :~ 6561 :~
Hacemos cuentas aparte que ya son de envergadura
6561 / 227 = 28.9...
6561 - 28·247 = 205
:~205 :~ -22 (mod 227)
3^16 :~ (-22)(-22) :~ 484 :~ 484 - 2·227 :~30
3^32 :~ 30·30 :~ 900 :~ 900 - 3·227 :~ 219 (mod 227=
Vemos que el valor real coincide con la hipótesis, luego es verdad lo que nos dicen.
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Y la segunda parte es determinar si 117 divide a 5^53 -1. Nos da como pista que consideremos el residuo modulo 13.
Alguna razón puede tener lo que nos dicen porque 117 = 9·13
Si se cumple será
5^53 - 1 :~ 0 (mod 117)
5^53 :~ 1 (mod 117)
Bueno, vamos a hacer lo que nos dicen para averiguar el misterio
5^2 = 25 :~ 12 :~ -1 (mod 13)
5^4 :~ (-1)(-1) :~ 1 (mod 13)
53 = 4·13 +1
5^53 = 5^(4·13) ·5 = (5^4)^13 · 5 :~ 1^13 · 5 :~ 5 (mod 13)
5^53 :~ 5 (mod 13)
Y esto es incompatible con la congruencia de más arriba, vamos a demostrarlo
Sea a = n(bc) + r ==> a = (nb)c + r ; con a,b,c,n,r € Z
Que en congruencias significa
a :~ r mod (bc) ==> a :~ r (mod c)
Nosotros tenemos la hipotesis
5^53 :~ 1 (mod 117) ==>
5^53 :~ 1 (mod 9·13) ==>
Por lo que acabamos de decir
5^53 :~ 1 (mod 13)
Y siguiendo pasos lógicos hemos llegado a algo falso, ya que 5^53 es congruente con 5 módulo 13.
Luego la hipóteis es falsa y no es cierta la divisibilidad que nos dicen.
Y eso es todo.
