Estadística matemática con aplicaciones 5.35

Los dos ejercicios por pregunta ya hace días que lo dejé de hacer. Si quieres que haga el segundo manda de nuevo la pregunta.

5.35) En el ejercicio 5.33 decía que Y1 era el tiempo total e Y2 el tiempo en la fila de espera.

Y que la función de densidad conjunta era

f(y1,y2)=e^(-y1) si 0 <= Y2 <= Y1 <= +infinito; 0 en el resto

Entones lo que nos piden es

P(Y2 <=1 | Y1=2)

Eso se hace integrando la función de densidad condicional f(y2 | y1=2) entre 0 y 1.

Y para obtener esa función de densidad condicional tenemos que calcular primero la función de densidad marginal de y1

$$\begin{align}&f_1(y_1)= \int_0^{y_1} e^{-y_1}dy_2=\left[y_2e^{-y_1}  \right]_0^{y_1}=y_1e^{-y_1}\\ &\\ &\text{Con lo cual: }\\ &\\ &f(y_2|y_1)=\frac{f(y_1,y_2)}{f_1(y_1)}=\frac{e^{-y_1}}{y_1e^{-y_1}}= \frac{1}{y_1}\\ &\\ &\\ &P(Y2\le 1 |Y1=2)=\int_0^1 \frac{dy_2}{2}=\left[\frac {y_2}{2} \right]_0^1=\frac 12\end{align}$$

Y eso es todo.