¿Cómo puedo dejar mi trabajo?

No das muchos detalles, como por ejemplo en tu encabezamiento pones ¿cómo puedo dejar mi trabajo? Y luego hablas de cobrar la prestación por desempleo en el extranjero,¿doi por hecho que actualmente trabajas y quieres dejarlo pero con derecho a cobrar prestación? Lo segundo ¿cuál es tu nacionalidad? Porque si eres española, se trata de un modo lo de cobrar la prestación en el extranjero, y si eres sudamericana, se trata de otra manera, así que contestame estas dos cuestiones e intentaré ayudarte.

Perdona por no expresarme bien, si quiero dejar mi trabajo, quiero irme a vivir a perú, a vivir con una amiga, tengo una gran depresión de la cual me están tratando, estoy aquí sola con mis hijos, soy divorciada y no tengo a nadie más y si soy española, y quisiera poder cobrar el paro allí y no se si perdería la custodia de mis hijos.

Bueno sigues si darme todos los datos necesario, como tipo de contrato, pero te diré lo que tienes que hacer dependiendo del contrato.
Si tienes contrato por tiempo determinado, es decir, por 6 meses por ejemplo, o contrato por obra y servicio, para poder mantener el derecho a cobrar la prestación por desempleo, debes esperar a que finalice el contrato y no renovarlo en el primer caso, y en el segundo, esperar la finalización de la obra o el servicio, si lo dejas tú, mediante preaviso a la empresa de 15 días, o según los días que diga el convenio al cual estas acogida, no tendrías derecho a desempleo. Si el contrato es indefinido, es decir, no te renovan cada por tiempo, siempre es el mismo, deberás realizar una falta grave para que te despidadn, por ejemplo, faltar al trabajo 3 días consecutivos sin justificación alguna, esto seria un despido procedente estarías en situación legal de desempleo y podrías pedir la prestación, pero por esta vía, la empresa solo tendría la obligación de darte el finiquito, pero no la indemnización de 45 días por año trabajado, otra seria el despido procedente, esto es más complicado, deberías hacer cosas, como no realizar tus labores, hasta que se cansen de ti y provoques que te despidan, en este caso y para que no le compliquen la vida con juicios, suelen ponerte despido improcedente, con lo cual tu lo aceptas y te darán el finiquito, la indemnización y tendrás derecho a prestación por desempleo, en todos los casos esta claro que te corresponderá la prestación si es que tienes un mínimo de 360 días cotizados en los últimos 6 años.
Esta parte creo que aclarada, ahora lo de irte de España y conservar la prestación, según la vigente norrmativa, la cosa está así, si te vas a un país extracomunitario pierdes el derecho a la prestación, ya que una de las obligaciones como beneficiearia económica es la de ser demandante de empleo y estar a disposición del servicio estatal de empleo, cosa que no puedes hacer en el extranjero, solo en el caso de que te vallas a un país de la Union Europea o a Suiza, podrías solicitar una "exportacion" de tu prestación y seguir percibiéndola allí.
El caso de los hijos lo desconozco, no soy abogado, como indico en mi currículo de todoexpertos, soy miembro del comité de empresa desde hace años, conozco mucha normativa laboral, de ss. Ss, convenios y desempleo, a causa de años dedicado a solventar problemas de trabajadores, así que temas penales y civiles se quedan fuera de mis conocimientos, pero sin tenerlos, te diría que lo debes consultar con un profesional, ya que el irte del país aunque tengas la custodia, creo que no es muy legal, creo yo, sobre todo si el padre tiene un régimen de visistas y demás derechos.