¿Cómo se dice en latín "sigue cuidándome"?

Bueno, intentemos justificar el por qué de nuestra elección.
En primer lugar, hay que decir que si bien nuestro verbo “seguir”
Proviene del verbo latino “sequor”, el nuestro es bastante más específico y el
latino bastante más vago. Es decir, nuestro “seguir” significa “permanecer,
continuar, mantener”; en cambio el verbo latino significa más “perseguir”,
entre otras acepciones. En este caso, pues, vemos que quizás no sea conveniente
utilizar el verbo latino “sequor”. Míralo funcionando en Cornelio Tácito,
Anales, 3, 15, 3:
“Relatus domum, tamquam defensionem in posterum meditaretur,
pauca conscribit obsignat que et liberto tradit; tum solita curando corpori
exsequitur.”
En este caso, el derivado de “sequor”: “exsequitur” está
funcionando con “curando” (“cuidando”) pero significa más “prosiguió, pasó a
cuidar”, etc.
De este modo, yo creo que la mejor equivalencia para tu “sigue”
Es el imperativo de otro verbo: “maneo”, que quiere decir “permanece, continúa,
mantente”.
Por otra parte, hay varios verbos para decir “cuidar”: “tueor”,
“Curo”, “consulo”, etc. Fíjate: las figuras del tutor y del curador provienen
del latín “tutor” y “curator”, que a su vez provienen de los verbos “tueor” y “curo”.
Bueno, pues bien, yo prefiero “curo” que significa “cuidar, atender, velar por,
ocuparse de”, etc.
Finalmente, la figura gramatical que debemos usar para “cuidando”
Es el gerundio latino “curando”, porque es lo más aproximado a la figura
castellana y que llevará régimen de acusativo para el “me”. Observa cómo funciona en Cicerón, Ad familiares, 16, 20, 1:

"cura te, si me amas, diligenter. Vale."

Así, tu frase quedaría:

Mane curando me

Bueno.