Teorema Fundamental del Calculo

Entonces supongo que F(x) es la integral definida y hay que calcular su derivada. El teorema fundamental nos dice que la función del integrando f considerada de x será la función derivada de F(x) si el límite de integración superior es x.

Esto se puede resolver de dos formas, primero lo voy a hacer tal como lo hacía hasta hace poco

Y que sabía positivamente que estaba bien porque después se podía verificar.

1)

Hagamos un cambio de variable en la integral de tal forma que el límite superior pase a ser x.

Si llamamos z a la variable del cambio será:

t=g(z)    tal que si t=x^3   ===> z=x

sustituyendo

x^3 = g(x)

luego el cambio es

t=z^3

$$\begin{align}&\int_{\frac \pi 2}^{x^3}cost\,dt=\\ &\\ &t=z^3  \implies z=\sqrt[3]t\\ &dt=3z^2\,dz\\ &t=\frac{\pi}{2}\implies z=\sqrt[3]{\frac{\pi}{2}}\\ &t=x^3\implies z=x\\ &\\ &=\int_{\sqrt[3]{\frac{\pi}{2}}}^x 3z^2cos z^3\,dz\\ &\\ &luego\\ &\\ &F'(x) = 3x^2cos x^3\end{align}$$

Y esto ha sido un buen ejercicio de teoria sobrte el cambio de variables

2)

Pero también puedes hacerlo así y es mas corto:

Aplicando el teorema fundamental no tendrás una función de variable x sino una de variable x^3 que cumplirá esto

$$\begin{align}&\frac{d F(x^3)}{d(x^3)}=\cos x^3\\ &\\ &\text{Y para obtener la derivada respecto de x  usamos}\\ &\text{la regla de la cadena}\\ &\\ &\frac{dF(x^3)}{dx}= \frac{d F(x^3)}{d(x^3)}·\frac{d(x^3)}{dx}=\cos x^3·3x^2=3x^2cos x^3\end{align}$$

Tú verás cuál es la forma que se adapta a lo que te han enseñado, yo no lo sé.