Convergencia o Divergencia de Integrales

Luigi Bogo!

Me parece que la función no está bien escrita, ¿será esto?

In(x*arctag(x) dx

Es que lnt no sé qué pueda significar.

Prof. Valero tome el "Int" como el símbolo de integración, osea que la expresión es una integral definida desde 0 a +infinito. 

¡Ah!

Yo pensaba que logaritmo neperiano t (de algo)

Es que esta fuente no distingue entre la i mayúscula y la l minúscula.

Entonces hagamos la integral definida

$$\begin{align}&\int_0^{\infty}x·arctg(x) dx=\\ &\\ &\lim_{K\to\infty} \int_0^K x·arctg\,x\;dx=\\ &\\ &u=arctg\, x\quad du=\frac{dx}{1+x^2}\\ &\\ &dv=x \quad\quad v=\frac {x^2}2\\ & \\ &=\lim_{K\to\infty} \left(\left.\frac{x^2·arctg \,x}{2}\right|_0^K-\frac 12\int_0^K \frac{x^2dx}{1+x^2}\right)=\\ &\\ &\lim_{K\to\infty}\left(K^2·\frac{\pi}{2}-\frac 12\int_0^K\left(1 -\frac{1}{1+x^2}  \right)dx\right)\\ &\\ &\lim_{K\to\infty}\left(\frac{\pi K^2}{2}- \frac 12\left[x-arctg\,x  \right]_0^K\right)=\\ &\\ &\lim_{K\to \infty}\left(\frac{\pi K^2}{2}-\frac K2+arctg K\right)=\infty\end{align}$$

Es así porque el arctg(oo) = pi/2 y el infinito de K^2 es mayor que el de K.

Y eso es todo.

¡Gracias! Se lo agradezco mucho Profesor, siga ayudando al estudiante de todos los confines del planeta, ¿por que donde no llegan ustedes? 

$$\begin{align}& \displaystyle\lim_{b \rightarrow \infty}\frac{1}{2}(arctg(b)(b^2+1)-b)\\ & \frac{1}{2}\displaystyle\lim_{b \rightarrow \infty}(arctg(b)(b^2+1)-b)=\infty\end{align}$$

$$\begin{align}&\int_{0}^{\infty}{{xarctg(x)dx}}\\ &\displaystyle\lim_{b \rightarrow \infty} \int_{0}^{b}{{xarctg(x)dx}}\\ &\\ &\end{align}$$

Primero debemos resolver la integral, para aplicar luego el limite.

$$\begin{align}&\int_{0}^{b}{{xarctg(x)dx}}\\ &\\ &u=arctg(x)--> du=\frac{1}{x^2+1}dx\\ &dv=xdx-->v=\frac{x^2}{2}\\ &\\ &\int{udv}=uv-\int{vdu}\\ &\int_{0}^{b}{{xarctg(x)dx}}=arctg(x)\frac{x^2}{2}-\int{\frac{x^2}{2}\frac{1}{x^2+1}dx}\\ &=arctg(x)\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}\int{\frac{x^2}{x^2+1}}dx\\ &=arctg(x)\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}\int{(1-\frac{1}{x^2+1})}dx\\ &=arctg(x)\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}(\int{dx}-\int{\frac{dx}{x^2+1})}\\ &=arctg(x)\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}(x-arctg(x))\\ &=\frac{1}{2}(x^2arctg(x)-x+arctg(x))\\ &=\frac{1}{2}(arctg(x)(x^2+1)-x)\\ &\\ &\end{align}$$

Evaluamos entre 0 y b, la integral definida.

$$\begin{align}&=\frac{1}{2}(arctg(b)(b^2+1)-b)-(\frac{1}{2}(arctg(0)(0^2+1)-0)\\ &=\frac{1}{2}(arctg(b)(b^2+1)-b)-(0)\\ &=\frac{1}{2}(arctg(b)(b^2+1)-b)\end{align}$$

Aplicamos el limite para ver la convergencia o divergencia.

$$\begin{align}& \displaystyle\lim_{b \rightarrow \infty} \end{align}$$

Aunque arcotangente de infinito es pi/2, el resto sigue dando infinito por lo tanto el limite completo da infinito entonces la integral impropia diverge.