Otra pregunta de integración por partes

Antonio Carvajal!

Esta si es una integral típica para integrar por partes. Fíjate que lnx no tiene una integral inmediata. Es fácil calcularla, pero no es inmediata. Luego supondremos que lnx es lo que vamos a derivar y la raíz lo que vamos a integrar, son dos cosas asequibles.

¡Ah por cierto, no hay mayor incordio que arrastrar los límites de integración si lo hacemos por partes, así que primero haremos la indefinida y al final evaluamos todo de golpe

$$\begin{align}&\int \sqrt xlnx dx=\\ & \\ & u=lnx\quad\quad du = \frac {dx} x\\ & dv = x^{\frac 12} dx\quad v =\frac{x^{\frac 32}}{\frac 32}=\frac 23x^{\frac 32} \\ & \\ & \\ & =\frac 23x^{\frac 32} lnx -\frac 23\int x^{\frac 12}dx=\\ & \\ & \frac 23x^{\frac 32} lnx -\frac 23·\frac 23x^{\frac 32}=\\ & \\ & \frac 23x^{\frac 32}\left(lnx-\frac 23\right)\\ &\\ &\text{y la evaluamos entre 1 y 5}\\ &\\ &\frac 235^{\frac 32}\left(ln 5-\frac 23  \right)-\frac 23·\left(ln1-\frac 23 \right)\\ &\\ &\frac{10 \sqrt 5}{3}\left(ln 5-\frac 23  \right)-\frac 49=\\ &\\ &\frac{30 \sqrt 5\; ln 5-20 \sqrt 5+4}{9}\end{align}$$

Y eso es todo.