Una pregunta mas de calculo

Este es el tipo de integrales por partes más interesantes, ya que la respuesta se obtiene por deducción.

Llamemos I a la integral

$$\begin{align}&I=\int e^xsenx\;dx=\\ &\\ &u= senx\quad\quad du =cosx\; dx\\ &dv= e^xdx\quad\quad v=e^x\\ &\\ &=e^xsenx-\int e^xcosx\; dx=\\ &\\ &u=cosx\quad\quad  du= - senx\;dx\\ &v=e^xdx\quad \quad v=e^x\\ &\\ &=e^xsenx-e^xcosx-\int e^xsenx\;dx\\ &\\ &\text {Luego lo que hemos obtenido es}\\ &\\ &I = e^xsenx-e^xcosx-I\\ &\\ &2I = e^xsenx-e^xcosx\\ &\\ &I=\frac{e^x(senx-cosx)}{2}\end{align}$$

Y eso es todo.