Realiza la siguiente integral
$$\begin{align}&\int tan^2xsecx dx\end{align}$$Gracias por la ayuda de antemano.
1 Respuesta
Jacarcan Can!
Esta es de las integrales triginométricas complicadas, se resuelven con el cambio
t = tg(x/2)
Y en la teoría del libro te pondrá todos los detalles del cambio que yo usaré sin demostración
$$\begin{align}&\int tg^2x·secx \;dx=\int \frac{sen^2x}{\cos^3x}dx=\\ & \\ & t=tg \left(\frac x2\right)\\ & \\ & dx= \frac {2dt}{1+t^2}\\ & \\ & senx = \frac {2t}{1+t^2}\\ & \\ & cosx = \frac{1-t^2}{1+t^2} \\ & \\ & \\ & =\int \frac{\left(\frac {2t}{1+t^2}\right)^2}{\left(\frac{1-t^2}{1+t^2} \right)^3}·\frac {2dt}{1+t^2}=\\ & \\ & \int \frac{4t^2}{\frac{(1-t^2)^3}{1+t^2}}·\frac {2dt}{1+t^2}=\\ & \\ & 8\int \frac{t^2}{(1-t^2)^3}dt=8\int \frac{t^2}{(1-t)^3(1+t)^3}dt\\ &\\ &\text {las fracciones simples son}\\ & \\ & \frac{a}{1-t}+\frac{b}{(1-t)^2}+\frac{c}{(1-t)^3}+\frac{d}{1+t}+\frac{e}{(1+t)^2}+\frac{f}{(1+t)^3}\\ &\\ &\text{Para t=1 todos los sumandos del numerador serán 0 salvo}\\ &c(1+t)^3\\ &1=c·2^3\implies c=\frac 18\\ &\\ &\text{Para t=-1 todos serán 0 salvo}\\ &f(1-t)^3\\ &1=f·2^3\implies f=\frac 18\\ &\\ &\text{el coeficiente de }t^5 \text{ es } a -d=0 \implies a=d\\ &\text{el de }t^0\; es\; a+b+c+d+e+f+g=0\implies \\ &a+b+d+e = \frac 34\end{align}$$¡Bueno, esta integral no se le puede desear ni al peor enemigo! Ahora lo tengo que dejar, pero no sé si la terminaré, el ordenador ya no puede con tanta fórmula en el editor y es imposible seguir y mucho menos poner las explicaciones que harían falta porque las operaciones no son sencillas.
Yo trate de resolverla así, ¿no se si me pueda verificar?
$$\begin{align}&\int tan^2xsecxdx=\int(sec^2x-1)secxdx=\int sec^3xdx-\int secxdx\\ &\\ &=\int sec^2xsecxdx-ln (secx+tanx)\\ &\\ &\\ &\end{align}$$ahora la primera integral la hago por partes u=secx du=tanxsecx dv=sec^2x v=Tanx
$$\begin{align}&=secxtanx-\int tanx(tanxsecx)-ln(secx+tanx)=\\ &=secxtanx-\int tan^2xsecxdx-ln(secx+tanx)=\\ &I=secxtanx-I-ln(secx+tanx)\\ &2I=secxtanx-ln(secx+tanx)\\ &\\ &I=\frac{secxtanx-ln(secx+tanx)}{2} +C\\ &\end{align}$$Los paréntesis hay que cambiarlo por valor absoluto, nadamas que no se ponerlos en el editor.
gracias por la ayuda
¡Uff! Me has puesto como la cosa más natural del mundo que la integral de secx es
ln|secx+tgx|
Y eso yo creo que cuesta sudor y lágrimas conseguirlo. Si en tu libro te aparece eso ten por cuenta que no es habitual que aparezca en todos los libros. Y así para alguíen que no tenga esa libro esa integral es bastante difícil.
Déjame que la haga a mi manera:
$$\begin{align}&\int secx\;dx = \int \frac {dx}{cosx}=\int \frac{cosx}{\cos^2x}dx=\\ &\\ &\int \frac{cosx}{1-sen^2x}dx=\\ &\\ &t=senx\\ &dt = cosx dx\\ &\\ &= \int \frac{dt}{1-t^2}=\frac 12\int\left(\frac {1}{1+t} +\frac{1}{1-t} \right)dt=\\ &\\ &=\frac 12\left(ln|1+t|-ln|1-t|\right)=\\ &\\ &\frac 12ln\left|\frac{1+t}{1-t}\right| = ln \sqrt{\left|\frac{1+t}{1-t}\right|}=\\ &\\ &ln \sqrt{\frac{1+senx}{1-senx}}= ln \sqrt{\frac{(1+senx)^2}{1-sen^2x}}=\\ &\\ &ln \left|\frac{1+senx}{cosx}\right|= ln|secx+tgx|\end{align}$$Luego no era tan inmediato, y eso que he usado trucos para no tener que emplear el cambio t = tg(x/2) que lo hubiera dejado todo ilegible.
Y lo de detrás está todo bien hecho, luego esa es la integral
$$\begin{align}&I=\frac{secx·tgx-ln|secx+tg x|}{2} +C\end{align}$$Pero para mi el método que has usado es muy, muy rebuscado, si no se ha hecho un ejercicio anterior igual o muy parecido no se le puede ocurrir a uno todo lo que se ha hecho aquí y tirará por el método normal como el que estaba usando yo.
Déjame que no termine lo que dejé, pensaba hacerla usando el ordenador para ayudarme a hacer productos de polinomios y resolver una ecuación de 4 incógnitas, pero a la vista de esta forma de resolverla tan corta abandono la mía.
