Aplicación de la transfomada de laplace

Vero Chaparro!

Para que una función tenga transformada de Laplace es suficiente con que sea continua a tozos.

Entonces esta función es continua mientras t<1 obviamente por ser la función nula y lo es para t>=1 por ser un polinomio. Luego es una función continua a trozos y por lo tanto tiene transformada de Laplace.

------------

Para calcularla usaremos el segundo teorema de traslación que dice que si f(t) es una función que tiene transformada de Laplace y a es una constante a>0 se cumple

$$\begin{align}&\mathscr L\{U_a(t)\;f(t)\}= e^{-as}\mathscr L \{f(t+a)\}\end{align}$$

Siendo U sub a la función escalón unitario

Ua(t) = 0 si t<a

Ua(t) = 1 si t>= a

La función que nos dan se puede expresar como el producto de la función escalon lateral en el 1 por la función 3t^2 -4t+6, luego podemos aplicar este teorema.

$$\begin{align}&\mathscr L\{U_1(t)\;(3t^2-4t+6)\}= e^{-s}\mathscr L\{3(t+1)^2-4(t+1)+6\}=\\ & \\ & e^{-s}\mathscr L\{3t^2+6t+3-4t-4+6\}=\\ & \\ & e^{-s}\mathscr L\{3t^2+2t+5\}=e^{-s}\left(3·\frac 2{s^3}+2· \frac{1}{s^2}+5·\frac 1s \right)=\\ & \\ & e^{-s}\left(\frac 6{s^3}+\frac 2{s^2}+\frac 5s \right)\end{align}$$

Y no se suele hacer más, si pones denominador común le haces una faena al que venga detrás y quiera calcular la transformada inversa.