Ayuda con esta integral, es una serie de integrales

Esta sabemos que se puede hacer, aunque puede que cuaete la suyo, no me gustan nada los números que hay.

El denominador tiene una raíz 0 a simple vista

x(1000x^2+5x+2)

Y el segundo factor es irreducible ya que el discriminante de la ecuación de segundo grado es

25 - 8000 = -7975 que es negativo y las raíces son complejas.

La descomposición en fracciones simples es de esta forma;

$$\begin{align}&\frac{x^2+25x-10}{1000x^3+5x^2+2x}=\\ & \\ & \frac{a}{x}+ \frac{bx+c}{1000x^2+5x+2}\\ & \\ & \text{luego haciéndolo todo en un paso}\\ & \\ & x^2+25x-10=(1000a+b)x^2+(5a+c)x+2a\\ & \\ & -10=2a \implies a=-5\\ & 25=5a+c\implies 25=-25+c\implies c=50\\ & 1000a+b=1 \implies b=5001\\ & \\ & \text {con lo cual la integral indefinida es} \\ & \\ & -5\int \frac{dx}{x}+\int \frac{5001x+50}{1000x^2+5x+2}dx=\\ & \\ & -5lnx+\frac{5001}{2000}\int \frac{2000\left(x+\frac{50}{5001}\right)}{1000x^2+5x+2}dx=\\ & \\ & \\ & -5lnx+\frac{5001}{2000}\int \frac{2000x+5}{1000x^2+5x+2}dx+\\ & \\ & \frac{5001}{2000}\int \frac{\frac{100000}{5001}-5}{1000x^2+5x+2}dx=\\ & \\ & \\ & -5lnx+ \frac{5001}{2000}ln|1000x^2+5x+2|+\\ & \\ & \frac{74995}{2000}\int \frac{dx}{1000x^2+5x+2}=\end{align}$$

Vamos a dejar de arrastrar el resultado y nos centramos en la última integral .

Primero completaremos cuadrados para que quede suma de dos cuadrados que modificaremos convenientemente para obtener un arcotangente.

$$\begin{align}&1000x^2+5x+2=\left(\sqrt{1000}x+\frac{1}{\sqrt{1000}}·\frac 52\right)^2-\frac{25}{4000}+2=\\ &\\ &\left(10 \sqrt{10}x+\frac{1}{4 \sqrt{10}}\right)^2+\frac{7975}{4000}=\\ &\\ &\left(10 \sqrt{10}x+\frac{1}{4 \sqrt{10}}\right)^2+\frac{319}{160}=\\ &\\ &\frac{319}{160}\left(1+\left[ \sqrt{\frac{160}{319}}\left(10 \sqrt{10}x+\frac{1}{4 \sqrt{10}}\right)\right]^2\right)=\\ &\\ &\frac{319}{160}\left[1+\left( \frac{400x+1}{\sqrt{319}}\right)^2\right]\\ &\text{Con esto lo de dentro de la última integral es}\\ &\\ &\int \frac{dx}{\frac{319}{160}\left[1+\left( \frac{400x+1}{\sqrt{319}}\right)^2\right]}=\\ &\\ &\frac{160}{319}·\frac{\sqrt{319}}{400}\int \frac{\frac{400}{\sqrt{319}}}{1+\left( \frac{400x+1}{\sqrt{319}}\right)^2}dx=\\ &\\ &\frac{2}{5 \sqrt{319}}arctg\left( \frac{400x+1}{\sqrt{319}}\right)\end{align}$$

Y la integral indefinida completa es

$$\begin{align}&-5lnx+ \frac{5001}{2000}ln|1000x^2+5x+2|+\\ &    \\ &    \frac{74995}{2000}\frac{2}{5 \sqrt{319}}arctg\left( \frac{400x+1}{\sqrt{319}}\right)=\\ &  \\ &  -5lnx+ \frac{5001}{2000}ln|1000x^2+5x+2|+\\ & \frac{14999}{1000 \sqrt {319}}arctg\left( \frac{400x+1}{\sqrt{319}}\right)\\ & \\ & \text{Paso de racionalizar denominadores, ya está bien así}\\ & \text {solo queda evaluar en 5 y restarle la evaluación en 1}\\ &\\ &-5ln5+\frac{5001}{2000}ln(25027)+  \frac{14999}{1000 \sqrt {319}}arctg\left( \frac{2001}{\sqrt{319}}\right) +\\ &\\ &0-\frac{5001}{2000}ln(1007)-\frac{14999}{1000 \sqrt {319}}arctg\left( \frac{401}{\sqrt{319}}\right)\approx\\ &\\ &0.016749730633197\end{align}$$

Y eso es todo.  No sé a que fin ponen estas integrales con tanto trabajo.  Gracias a Dios que me ha salido bien a la primera.